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BIBLIOGRAPHIE 



ANALYSES ET INDEX 



l'ne généralisalion bien naturelle consiste à consi- 

 (léi-ei- l'ensemble des entiers aÇ-j- N ; a et [i étant deux 

 entiers fixes du cmps, et Ç, »), variant el pouvant 

 représenter tous les entiers du corps. De même, on 

 [leut considérer rensemble des entiers 3!?-(- I^i-f- fl^, etc. 

 Ce sont ces eiiscnibles que M. DedeUind a appelés dfs 

 icIi'Hiix L'idéal formé par l'ensemble des entiers 

 =<?4-?'i + Tî+--- se dénotera (a, ,";, y, ...)• 



Dans le corps des nombres rationnels, ces générali- 

 sations ne servent à rien, car ou démontre le Ibéorème 

 suivant: .S; a, (3, y, ..., ?, ï), ï, ... sont des entiers ordi- 

 naires, el le jjlusgrand coniniiin diviseur de a, fî, •(, ..., 

 Iniit entier de la l'orme aÇ-|- N + T^+ ••• ^^t un mul- 

 lijtle de 3, el réciproqneinonl tout multiple de 5 peut 

 être mis sons cette forme. De sorte que l'idéal 

 (a, |3, Y, ...) n'est autre cbose que l'idéal (3) ; il se 

 réduit aux multiples do 3, et sa considération ne peut 

 servira rien de plus que celle de l'entier 3 lui-même. 



En est-il de même dans un corps algébrique '.' On 

 démontre que, si cela est, il y a dans le corps une 

 d('com[)osition des entiers en facteurs premi''rs, décom- 

 position possible d'une seule faroii, à un facteur unité 

 |irès. 



Puisque cette dernière propriété n'est pas vraie en 

 général, c'est que l'autre ne Test pas non plus, il y a 

 diinc lieu de considérer des idéaux (a, fi), (à, fi, f), etc. 



Les idéaux les plus simples sont les idéaux tels que 

 (a), l'ensemble des multiples de a. On les appelle idéaux 

 firincipaux. 



Dans le corps des nombres rationnels tout idéal est 

 principal. Il en est de même dans quelques corps par- 

 ticuliers, mais il n'en est pas de même en général. En 

 loul cas. il peut arriver qu'un idéal (a, p, ■;, ...) dédni 

 par A- entiers a, p, y, ... se réduise à un autre défini 

 par moins de A entiers. ' 



(tii définit la multiplication des idéaux pur la rormule 

 suivante : 



'»,P,T,...)(a'„5',-,',...) 



= (aï'.ap'.ay',... ,^o.' ,fi{i'.^Y,- rï'-Y^'.ïï' ) 



En particulier, si les idéaux sont principaux, la) {en'] 

 ^jaa'i, de sorte que la multiplication des entiers est 

 un cas particulier de la multiplication des idéaux. 



Ceci posé, si l'on considère non plus seulement 

 l'ensemble des entiers ou, ce qui revient au même, 

 l'ensemble des idéaux principaux d'un corps, mais 

 l'ensemble de tous les idéaux de ce corps, alors dans 

 ce nouvel ensemble, qui comprend l'ancien, on peut 

 trouver des idéaux qui jouent le rôle de fadeurs pre- 

 miers. Tout entier du corpsse trouve alors décomposé 

 en facteurs premiers ; seulement ces facteurs ne sont 

 pas toujours des entiers, ce peuvent être des idéaux. 



Enfin une troisième question fondamentale se pose, 

 celle des classes d'idéaux. Dans toute reelierclie sur 

 les entiers d'un corps où l'on est amené à décomposer 

 ces entiers en idéaux prem.iers, le résultat pourra se 

 présenter sous forme d'un produit d'idéaux, et alors 

 ce résultat sera-t-il un idéal, sera-t-il un nombre"? 

 C'est en cliercliant à résomlre ce problème qu'on est 

 amené à la considération des classes. 



Ayant défini le rapport de deux idéaux, on dit (|ue 

 deux idéaux sont de même classe lors(|iie leur ra[)port 

 est un nombre. Le ibéorème foiidameiilal de cette 

 Ibéorie est que le nombre des classes d'idéaux d'un 

 corps est fini, et le problème se pose de cliercber une 

 expression de ce nombre, commode à calculer. 

 Ueclierche des unités, des idi'aux premiers, du immbre 

 de classes d'idéaux, tels sont les trois grands problèmes 

 de la Ibéorie. 



Une autre notion importante est celle de corps rchitiT, 

 (|ue nous avons déqiiiie <lans notre analyse du livre île 

 M. Sommer citée |dus haut, et qui (;st traitée ici avec 

 loute l'ampleur désiiable. 



La première partie du iivri' de M. Ililbert est consa- 

 crée à l'exposé général île toutes ces (|uestions. Les 

 parties suivantes Iraitenl di> cmps particuliers. La 



seconde s'occupe des corps ijaloisiens. Considérons 

 une équation al;;ébrique irréductible de degré /). Elle 

 a ;/ racines, elle donne donc naissance ;i n corps algé-. 

 briques, lesquels sont en général distincts. Dans le 

 cas oii ils ne le sont pas, 1 équation est dite de Galois 

 elle corps unique auquel elle douue naissance est dit 

 galoisien. On conçoit que l'étude d'un 1(4 corps \yvé- 

 sente des particularités intéressantes. D'autant plus 

 qu'un corps quelconque peut être considéré comme 

 un sous-corps d'un corps galoisien (c'est-à-dire contenu 

 dans un corps galoisien . 



La troisième partie traite des corps quadratiques, 

 c'est-à-dire des corps engendrés par une équation du 

 second degré. Us sont galoi-siens. Leur tliéorie est dans 

 un rapport étroit avi'c celle des formes quadratiques 

 binaires. 



La quatrième partie est consacrée aux corps circu- 

 laires, c'est-à-dire engendrés par une racine imaginaire 

 de l'unité. Ce sont ces corps qu'a étudiés Kummer et 

 pour lesquels il a introduit dans la science les nombres 

 idéaux. 



Enfin la cinquième partie traite des corps kiimmë- 

 riens. M. Hilbert appelle ainsi les corps qu'on forme en 

 adjoignant ;iu corps engendré par une racine //'"" ima- 

 ginaire de l'unité (/j premier), la racine /,""^' d'un entier 

 de ce corps. Dans cette partie se trouve traitée récjua- 

 tion célèbre de Kermat, .\" -\- y" = z". 



L'ouvrage de M. Ililbert est' l'exposé' le jdus complet 

 qui existe actuellement de la Tiiéorie des corps algé- 

 briques. M. Hilbert iHait particulièrement (|ualilié pour 

 le donner, ayant lui-même contribué grandement par 

 ses travaux aux progrès de celte tliéorie. Principale- 

 ment dans la seconde, la troisième et la cinquième 

 partie de son compte rendu, il a considérablement 

 innové, à la fois dans les mélliodeset dans les résultats. 



Mais il ne faut pas oublier qu'il n'a voulu faire qu'un 

 compte rendu et non pas un traité. C'est ce qui explique 

 que ses démonstrations soient parfois un peu som- 

 maires. Le lecteur accueillera donc avec plaisir les 

 notes de M. Ilumbert et celles de M. Cot qui complètent 

 certaines de ces démonslrations. 



Enlin, la fondation du prix Wolfskehl ayant donné 

 un renouveau d'actualité à la question du <■ grand » 

 théorème de Fermât, .\1 Got a ajouté à la lin du volume 

 une note particulièremanl importante ( 't2 pages sur 

 les recbercbes faites sur ce Ibéorème, posteTieurement 

 àladémonstiation qu'en a'donnée Kummer danslecas 

 decerlains exposants, dits /•(?f/(i//V'/'.< démonstration qui 

 se trouve dans le corps de l'ouvrage). Le plus impor- 

 tant des résultats auxquels elles ont conduit est encore 

 de Kummei' ; il consisie dans la démonstration du 

 théorème, pour certains exposants non réguliers. Tout 

 en suivant la marche de Kummer. M. Cot y apporte les 

 chiingements nécessaires pour la f<iire cadrer avec la 

 conception actuelle des idéaux, el avec les notations 

 de M. Hilbert. Il l'a fait d'une façon élégante et en 

 abrégeant notablement les calculs. 



Toutes ces notes ajoutent beaucoup à l'iiiléiêt de la 

 traduction, du peut regretter seulement qu'elles ne 

 soient pas plus nomlireuses encore Depuis IS'.lT, date 

 de la publication du Herivlil. certains progrès ont été 

 accomplis; quelques notes en faisant meiilion auraient 

 été les bienvenues. Les auteurs reconnaîtront que, si 

 c'est là un reproche à leur adresse, c'est eu iiiêine temps 

 un éloge. E. C.uien, 



l'.li.irgi' d'un .oui-s ilc Tlirorie des Nombres 

 ;i la S'trhoime. 



Brsiiiroi-(l (lî. . — Betraohtungen uber mathema- 

 tische Erziehung vom Kindcrgartcn bis zur Unt- 

 versitat. — Tra<lu<-tiou allemande de li. Schimmack 

 ('/ 11. \Vki\heicii. — I vo!. in-S' de Xi't- paijes. avec 

 114 lii/ures. {I'ri\ : 7 /'/■. liO.) H.-G. Tenbiicr, édi- 

 leurs. Leiimij cl Berlin, l'.ILt. 



l.'i'dition originale de cette étude a éti' publiée en 

 anglais sous le titre Stuily olinalheuiatical liducatioii. 

 Ce n'est pas m\ eX|)osé dogiiialique des piineipes des- 



