BIBLIOGRAPHIE — ANALYSES ET INDEX 



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BIBLIOGRAPHIE 



ANALYSES ET INDEX 



1° Sciences mathématiques 



\olterra \'.), l'rol'rsseiir h l' i'iiiviTsiti' de Home. — 

 Leçons sur les fonctions de lignes'. — 1 volume 

 in-S" df i'M jJiKjes. {I'ri\ : 7 /;■. 'M.) CHUthicv-Vil- 

 hirs. éditeur. Paris, 1913. 



l.e nouvel oiivrai;o do M. Vite Voltena vient com- 

 |ii.tei celui qui a |iaiu, voici environ un an, sous le 

 titri' : " l-econs sur les Equations intégrales et sur les 

 Equations inté^'m-dilTérentielhiS » -. 11 contient ledéye- 

 loppomenl du cours que léminent mathématicien 

 profi'ssa à la Sorbonne, de janvier à mars 1912, et où 

 il exposa, avec tant d'éloquence et de clarté, les fon- 

 dements de ses belles recherches. Celles-ci sont 

 aujourd'hui si universellement connuesqu'il serait vain 

 d'insister ici sur les services incomparables qu'une 

 telle publication est destinée à rendre à tous; elle 

 donne de l'œuvre de M. Volterra une vue d'ensemble 

 parfaite : c'est assez, dire. 



De la lecture de ce livre se dégage un contraste sai- 

 sissant : d'une part, les problèmes qui y sont traités 

 sont très variés et très généraux ; d'autre part, il y a, 

 dans la méthodi^ qui sert à les étudier, un caractère 

 d'unité admirable. Partout, en ellet, nous retrouvons la 

 mènip idi'e fondamentale : celle du passage du fini ;'i 

 l'inlini, du discontinu au continu. Dans un premier 

 chapitre, l'auteur nous montre que cette idée a 

 dominé constamment l'évolution du Calcul infinitési- 

 mal : transportée au domaine de la théorie des fonc- 

 tions, elle engendre la notion de l'onction de ligne. Pour 

 étudier ce nouvel édément analytique, on le considère 

 (chap. Il) comme la limite d'une fonction d'un très 

 gi'aud nombre de variables, qui seront par exemple les 

 coordonnées des sommets d'une ligne polygonale 

 inscrite dans la courbe : par une extension toute 

 naturelle de la notion de dérivée partielle, on définit 

 ainsi les dérivées d'une fonction de ligne. 



Ceci posé, à tout problème de la théorie des fonc- 

 tions oïdinaires, correspond en général un problème 

 de notre nouvelle Ihéoiie. C'est ainsi que se généra- 

 lise la théorie des fonctions implicites : étant donnée 

 une i-quation telle que : 



F|[/i;.x), 9(x),?j|=0, 



où F dépend non seulement de |, mais encore de la 

 forme des fonctions f et i, on se propose de déterminer 

 /■(.v^ lorsque i .r; est donnée. Le calcul des variations 

 conduit (chap. llli aune foule d'équations de ce genre; 

 les plus simples sont les équations intégrales : dans 

 des cas très étendus, il est possible de les résoudre 

 . Iiap. IVi en les considérant comme limites de sys- 

 l^mes d'équations algébriques à un très grand nombre 

 d'inconnues. 



Les chapitres suivants nous fournissent des exemples 

 d'équations inlégro-diflérentielles. empruntés à la 

 Physique mathématique ; on est conduit à de telles 

 équations toutes les fois qu'on étudie des phénomènes 

 héréditaires. C'est ce qui se présente par exemple en 

 élasticité (chap. VI' : la Mécanique classique négligeait 

 jusqu'à ce jour l'héri'dité, si bien qu'elle traduisait les 

 conditions de l'équilibre élastique par des équations 

 aux dérivées partielles. 



' Ce livre appartient à la Collection de Moni>graphies 

 ~ur la Théorie des fonctions, publiée sous la direction de 

 M. Emile Horel. 



' On trouvera l'analyse de ce premier volume dans le 

 numéro du la août l!tl3, page :\9D. 



Or l'élude des équations complètes ne dépasse pas 

 en complication celle de ces dernières; on peut même 

 (chap. Vlin résoudre complètement, et par des séries 

 rapidement convergentes, le problème de la sphère 

 élastique isotrope avec hérédité, lorsqu'on se donne 

 les déplacements au contour. Très important |iour les 

 applications est le cas d'une loi d'hérédité invariable 

 avec le temps : on dit alors que les conditions du cycle 

 fermé sont vérifiées; dans ce cas rentrent les phéno- 

 mènes d'hystérésis (chafi. VII). 



Nous abordons maintenant (chap. IX et suivants) 

 une théorie nouvelle : celle de la permutabililé. Deux 

 fonctions F, (v, y) et Fj (a, v sont dites permutables 

 quand le résultat de leur oomjjosition 



/F,!.v,e)F,(Ç,y)d5 



est indépendant de leur ordre; la pi-rniutabilité est de 

 première espèce lorsque les limites sont .\,y-. son 

 étude permet la résolution imméiliate d'une classe 

 très étendue d'équations intégrales et intégro-différen- 

 tielles à limites voriahles; en particulier elle fournit 

 la solution du problème de la sphère élastique quand on 

 suppose données les tensions au conlour. Dans le cas 

 où les limites de l'intégrale précédente sont deux 

 nombres fixes a et b, la permutabilité est dite de 

 seconde espèce. Son étude se rattache à celle des sub- 

 stitutions linéaires, et fournit des résultats relatifs aux 

 équations intégrales et intégro-difl'érentielles à limites 

 lixes. 



Enfin, dans quelques pages du plus haut intérêt 

 philosophique (chap. XIV), l'auteur marque la place 

 que la Mécanique héréditaire occupe dans la Méca- 

 nique classique. Certes, il est permis de discuter 

 sur l'existence effective des phénomènes d'béré'dité et 

 l'impossibilité ; il n'en est pas moins vrai qu'il est 

 commode de les introduire, parce qu'ils cunstituent 

 un intermédiaire précieux se prêtant facilement au 

 raisonnement: en outre, les coefficients d'hérédité 

 sont des grandeurs parfaitement accessibles à l'expé- 

 rience, et sur lesquels plusieurs physiciens ont déjà 

 opéré des mesures. 



En résumé, outre l'intérêt analytique qu'elle pré- 

 sente, la théorie des Fonctions de Lignes est, dès à 

 présent, susceptible d'applications nombreuses. Il 

 n'est donc pas douteux que le nouveau livre n'ait pour 

 iniluence de contribuer au développement de cette 

 théorie, qui est appelée à jouer en Mathématiques un 

 rôle prépondérant. G. Iîoulicand, 



Agrégé en mathématiques. 



Coiilel (-\.i. Ingénieur des Arts et .]fanufaclures. 

 — La question des moteurs sans soupapes : Le 

 moteur Knight. — 1 vol. m-S" de bl pages avec 

 20 ligures et i plancJie. {Prix : 2 francs.) JDunod et 

 Pinàt. Paris, 1913. 



On connaît les soins que nécessitent les soupapes 

 dans un moteur à explosions, et les incidents graves 

 aux(|uels elles sont capables de donner lieu. Les pro- 

 grès de la métallurgie, en permettant l'emploi des mé- 

 taux spéciaux, ont diminué beaucoup le nomhre de ces 

 incidents, qui étaient la terreur de l'automobiliste d'il 

 y a quinze ans. 



La soupape n'en est pas moins un organe délicat et 

 bruyant, et sa suppression est généralement considérée 

 comme devant constituer un pro;.'rès considérable. 



Il ne suffit cependant pas de supprimer un organe 

 délicat, il faut encore que l'organe qui doit le rempla- 

 cer soit plus robuste. 

 Dans sa brochure, M. Contel s'attache à montrer 



