710 F. MARGUET — LES COUHHKS DE HAUTEUR ET LEUR EMPLOI EN NAVIGATION 



donc un cas limite des deux précédents. Ces courbes 

 sont toutes superposables, étant comprises dans un 

 fuseau de 180". Elles sont asymptotes aux méridiens 

 situés à 90" de part et d'autre du méridien de 

 l'astre. Comme dans les courbes de première espèce, 

 l'image de l'astre se trouve alors sur l'image du 



l>arallèle milieu de la 

 sphère; et il en résulte 

 que dans le cas d'une 

 courbe de deuxième es- 

 pèce cette image de l'as- 

 tre est au-dessus de 

 l'image du parallèle mi- 

 lieu de la splière. 



4. Calcul de quelques 

 tUmeiisions. — Je vais 

 Flg. 6. maintenantévaluerquel- 



ques dimensions, desti- 

 nées au calcul de l'erreur commise en substituant la 

 tangente ou le cercle osculateur à la courbe. 



Calcul du rayon de courbure. — D B étant un 

 élément de la courbe (flg. 6), on peut écrire, A étant 

 l'azimut en D, et P l'angle horaire de l'astre : 



UB 



L'analogie 



Cos 



sin I' 



eus A <fP 

 1 t/A' 



: COS h sin A, 



OÙ î est la déclinaison, it la hauteur de l'astre, 



f/P 



ion ne 



c/A 



d'où on 



tire : 



P = 



laniî P 

 sin A 



Fit. 



prise eiilre ±tiO' 



à une ininiili' d'arc de cercle de rayon 



cos /) 



cos 1' cos 5 ' 



Dislaiire ilr lu Inii- 

 gnnle à la courbe. — 

 On peut prendre pour 

 cette distance la dis 

 tance de la tangente 

 au cercle osculateur. 

 Et cette dernière ré- 

 sulte immèdialement 

 de la valeur du rayon 

 de courbure, trouvée 

 ci-dessus Ou \oil 

 ainsi ([ue lant que la 

 latitude reste com- 

 etle distance reste inférieure 

 n-^b 



cl b étanl les rayons exirèmes de la Terre, c'est-à- 

 dire à un mille de \.W.rl mèircs, jus([u'à une dis- 



tance du point de contact plus petite que 30 milles 

 à peu près. 



Distance du cercle osculateur ù la courbe. — 

 Cette distance a été puldiée pour la première fois 

 par Y. \illarceau. Pt>ur l'obtenir, il chercha 

 l'expression de la distance d'une courbe à son 

 cercle osculateur, et il appliqua la formule trouvée 

 aux équations des courbes de hauteur. V.n 1901, le 

 commandant Guyou donna une expression nou- 

 velle de cette dislance. La méthode du commandant 

 Guyou, qui a un haut degré de généralité, consiste 

 à chercher l'expression de la distance d'un point 

 voisin de la courbe de hauteur à cette courbe. Il 

 lui suffit alors de situer le point considéré sur la 

 tangente, ou sur le cercle osculateur, ou sur une 

 courbe quelconque, dont la position par rapport à 

 la courbe de hauteur doit être évidemment définie, 

 pour trouver la distance de la courbe en question à 

 la courbe de hauteur. La formule du commandant 

 Guyou, relative au cercle osculateur, est très élé- 

 gante. Elle contient, 

 comme celle de Villar- 

 ceau, les termes du 

 quatrième ordre, et 

 son auteur la donna 

 comme s'appliquant 

 au cas des cercles de 

 petits rayons, point 

 évidemment impor- 

 tant. 



Je vais indiquer une 

 troisième méthode. 

 Elle est simple et dis- 

 pense de la recherche de l'équation de la courbe. 

 Sur les figures (7) et (8), ZK et zk sont le cercle de 

 hauteur et son image sur la carte, kz' et KZ' le 

 cercle osculateur et la courbe auquel il correspond 

 sur la sphère. La plus petite distance réelle du point 

 Z' à ZK est l'arc du grand cercle Z'K passant par 

 l'astre E; et on a, si on poseEZ'==90 — //: 



Fit', 8. 



(1) 



z'R = y/ 



On a aussi, dans le triangle PZ'E, ■^' étant la 

 latitude de Z' : 



[2) Sin //= sin ô sin ç.' + cos S cos e' cos P', 

 D'où, en posant zz' = ii., quantité petite : 



(3) /,' = /,,; = Au). + 1.(^)^ + 1. '(2')^ + ,,. 



D'autre part (2) donne, en dinérencianl par rap- 

 port à //, '^ et P' et on introduisant dans l'équation 

 trouvée l'azimut en '/.', que je désigne par A' : 



i) — = — COS A' — !^ cos s' siu .V' — , 



