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BIBLIOGRAPHIE — ANALYSES ET INDEX 



BIBLIOGRAPHIE 



ANALYSES ET INDEX 



1° Sciences mathématiques 



Chutelet (A.), ancien Elève de l'Ecole Xonuala supé- 

 rieure, eliargé de Cours à la l' aculle des Sciences 

 de Toulouse. — Leçons sur la Théorie des Nom- 

 bres (Modules, entiers algébriques, rkduction conti- 

 nuelle), prol'essées au Collège de France. — 1 vol. 

 iu-S" de 150 pages. {Pri.\': '> fr. 50.) Caulliier- 

 Villars. Paris, 1913. 



Le sous-titre de cet ouvrage indique les sujets dont 

 il traite. C'est d'ailleurs la théorie des entiers algébri- 

 ques qui en est le but et qui en occupe la plus grande 

 partie. 



Nos lecteurs savent par nos analyses précédentes 

 {Revue générale îles ."sciences, t. XXII, p. 6o(i, et t. XXV, 

 p. 447) ce que c'est qu'un entier algébrique et quels 

 sont les principau.Y problèmes de la théorie de ces 

 nombres. Ils savent aussi combien peu, relativement, 

 s'en sont occupé les Français, et en particulier 

 qu'aucun n'en a donné jusqu'à ce jour un exposé suivi. 

 On doit donc remercier .\1. Chatelet d'avoir comblé 

 cette lacune. Il l'a fait d'une faion très remarquable; 

 Sun ouvra;^e n'est pas une simple imitation des travaux 

 allemands, c'est un livre original. Essayons de dire en 

 quoi consiste cette originalité. 



D'abord, .M. Chatelet fait un usage constant des ta- 

 bleaux. On appelle lableau un ensemble de nombres 

 disposés sur des lignps et des colonnes. Ils se sont 

 introduits dans les Mathématiques à plusieurs occa- 

 sions; ainsi bs coeflicients d'un système d'équations 

 linéaires, ceux d'une subslitution linéaire, etc., for- 

 ment un tableau. C'est Cayley qui, le premier, je 

 crois, en iH'j'J, eut l'idée de constituer d'une façon 

 indépendante un calcul des tableaux qui pût s'appli- 

 quer aux théories précédentes. Depuis, on a montré 

 que ce calcul comprend pr(;sque tous les autres 

 comme cas particuliers; il a pour cette raison mérité 

 le nom de Univevsal algehra que lui ont donné cer- 

 tains géomètres anglais. 



Dire que deux tableaux sont égaux, c'est dire c|u'ils 

 soTit formés des mêmes nombres. Il en résulte qu'une 

 égalité enire deux tableaux pussédanl /j lignes et;; co- 

 lonnes équivaut à /;;; égalités ordinaii'es. Ou conçoit 

 la rapidité avec laquelle de telles égalités pei'metiront 

 de traiter les questions auxquelles on pourra les 

 employer. Leur application à la théorie des nombres 

 algébriques est, je crois, une innovation de M. Cha- 

 telet. On avait bien déjà remarqué que tout, tableau 

 satisfait à une équation algélirique dont les coeflicients 

 sont des fouctiuns rationnelles de ses éléments, et que 

 réciproquement toute éijualion algébrique peut être 

 formée de cette façon. D'où résulte que la théorie 

 d'un corps algi-brique d(dt se confondre avec celle de 

 l'ensemble des fonctions rationnelles à coeflicients 

 lationnels d'un tableau déterminé. Mais cette idée 

 n'avait pas encore, que je sache, été mise en œuvre. 



Une autre caractéristique du livre dont nous parlons 

 est la consiilération des modules ty;ies de points. Un 

 point dans l'espace à ;; dimensions est un ensemble 

 <le ;; nombres //,, />^, . . . p„, qu'on appelle ses coor- 

 données, (^e langage géométric|ue est commode, et 

 si ;; -^ 3 et si de plus /),, /;., /;„ sont réels, il corres|)ond 

 réellement à des faits ;.'éciiuiHriciues. Mais en gchiéral 

 il ne s'agit ici que d'algèbre, ;; peut être plus grand 

 <|ue 3, et /!,, /■,, ... /;„ peuvent être imaginaires. La 

 .somme de deux points /.,, p^, ... //„; /;',, //„ ... //„; 



est le point /), -f/;,', /;,-|-/),', /'„ + /''"• Une déti- 



nilioii analogues s'applii|ue à la différence. On apjielle, 



il'après M. Dedekind, module de poinis (on dit aussi : 

 réseau) un ensemble de ]ioiuts tels ipie la somme et 

 la dilléience de deux quelconques soient dans l'en- 

 semble. 



Prenons par exemple dans un plan, où sont tracés 

 lieux axes Ûv, Oy, deux points A et 1$ non en ligne 

 droite avec 0, construisons sur OAR un parallélo- 

 gramme 0.\RC, puis sur ce [larallélogramme construi- 

 sons un grillage formé d'un nombre indéliiii de paral- 

 lélogrammes égaux à OAUC. Les sommets de ces 

 parallélogrammes (c'est-à-dire les systèmes de coor- 

 données de ces sommels) forment un' module M. Ce 

 module M est dit de rang deux, parce qu'il est formé 

 par additions et soustractions répétées avec deux 

 points A et B et qu'il ne peut être formé de cette ma- 

 nière avec moins de deu.^ points. D'une façon géné- 

 rale, on appellera rang d'un module, le nombre 

 minimum de points avec lesquels un peut le former 

 par additions et soustractions. 



D'autre part, les points du module .M sont dans un 

 plan, c'est-à-dire dans un espace à deux dimensions, 

 mais ils ne sont pas sur une droite, c'est-à-dire dans 

 un espace à une seule dimension (puisque 0, .\, H, par 

 hypothèse, ne sont pas en ligne droite!. On dit que M 

 est de dimension deux. 



Le module M a donc un rang égal à sa dimension. 

 M. ("".hatelet appelle module type tout niculule qui 

 .jouit de cette propriété, et il a remarqué qu'un certain 

 nombre de faits (appi'oximation de plusieurs incom- 

 mensurables par des fractions de même dénominateur, 

 base des entiers d'un corps, base d'un idéal, unités 

 bindamenlales), présentant entre eux des analogies 

 manifestes, se ramènent à un énoncé unique : 



/'')(;;• qu'un module soil type, il faut el. il sulTit r;ue 

 le nombre de ses points dont les coordonnées sont 

 toutes plus petites en valeur absolue qu'un iiontljre 

 donné soil fini. C'est l'application de cet énoncé el la 

 notation par tableaux qui font roriginalili' de l'ou- 

 vrage. 



Sans entrer dans des détails techniques sur les dé- 

 monstrations que l'auteur tire de ses principes, il est 

 facile do montrer le rapport ([u'il y a t-ntre les trois 

 thi''ories : cidle des tableaux, celle des modules, celle 

 des entiers d'un corps algébrique. 



D'une part, un modulede rang n est défini par ;; de 

 ses points convenablemeni choisis, donc par le tableau 

 des coordonnées de ces points. 



D'autre part, l'ensemble des entiers d'un corps algé- 

 brique de degré ;; forme un miulule de d*imensiou 1 et 

 de rang ;;. Il est de dimension 1, iiuis(|ui> chacun de 

 ses éléments, étant un seul nombre, peut être considéré 

 comme coordonnée d'un point sur une droilc. Il est de 

 rang ;;, car on démontre i|u'i>n peut former tous les 

 entiers d'un cm-ps par addition et soustraction à partir 

 de ;; d'entre eux, formant ce qu'on appelle une base 

 des entiers de ce corps. Ce module n'est donc pas 

 tvpe. On obtient un module type si, en même temps 

 qu'on considère un entier, on considère ses n-l conju- 

 gU('S et qu'on prend ces ;; nombres comme cooi don- 

 nées d'un point dans l'espace à ;; dimensions. Dès 

 lors, appliquant l'énonct' ilont il a (-lé parlé plus haut 

 et la notation par tableaux, M. Chatelet arrive rapi- 

 dement aux résultats fondamentaux de la théorie des 

 entiers d'un corps algi'dn iiiue. 



C'est à ces résultats bmdaineiitaux qu'il s'est b(uné. 

 Nul doute qu'il aurait pu par les mêmes mélliodes 

 entreprendre facili'incnt une (■tiide plus approfondie, 

 mais il n'a pas voulu le l'airr ici. 



Par contre, il a introduit dans son ouvrage les prin- 



