EMILK B01{EL — LA TIlÉOlUli DES ENSEMBLES ET LA THEOHIE DES FONCTIONS ;U5 



LA THÉORIE DES ENSEMBLES 

 ET LES PROGRÈS RÉCENTS DE LA THÉORIE DES FONCTIONS 



La Théorie des ensembles, qui fut d'abord la 

 lliéorie des ensembles de points, est née de la 

 Tliéorie des fonctions; sa création fut une nécessité 

 imposée par l'étude de problèmes qui se posaient 

 naturellement à l'esprit des analystes. Une fois 

 créée, la Théorie des ensembles s'est développée 

 d'une manière indépendante et a vécu d'une vie 

 propre, séloignant parfois de ses origines. Puis, 

 assez récemment, la Théorie des fonctions s'est 

 développée beaucoup dans diverses directions, en 

 ayant incorporé les notions de la Théorie des 

 ensembles <[ui lui étaient nécessaires. On peut 

 ainsi distinguer trois périodes dans les relations 

 entre les deux théories ; la Théorie des ensembles 

 nait de l'étude des fonctions, se développe ensuite 

 d'une vie propre, et finit par être absorbée, ses 

 éléments utiles faisant partie intégrante de la 

 Théorie des fonctions. 



il n'est pas besoin de dire que cette distinction, 

 comme toute distinction tranciiée dans le domaine 

 des idées, est forcément un peu artificielle et ne 

 saurait, en tout cas, prétendre nous apporter une 

 division rigoureuse en périodes successives, à dates 

 bien déterminées' ; mais elle nous fournira un cadre 

 commode pour esquisser un chapitre des plus 

 curieux de Hiistoire récente des Mathématiques. Le 

 moment semble, d'ailleurs, bien choisi pour tenter 

 cette esquisse, car, d'un côté, la Théorie des 

 ensemble préoccupe beaucoup les philosophes 

 depuis plusieurs années' et, d'autre pari, indépen- 

 damment de nombreux Mémoires originaux, il est 

 paru récemment plusieurs livres où la Théorie des 

 ensembles et ses rapports avec la Théorie des 

 fonctions sont étudiés d'une manière systématique; 

 ces ouvrages nous guideront et c'est à eux que 

 nous renverrons le lecteur désireux d'approfondir 

 les détails techniques qui ne peuvent trouver place 

 ici ■'. 



I 



L'Algèbre se distingue de l'Arithmétique en ce 

 qu'elle étudie les propriétés des nombres, repré- 



' Pour certains analystes, la seconde période dure encore; 

 ]iour d'autres, nous sommes depuis longtemps dans la 

 li'iiisième. 



' Voir nolanimenl la collection de la Revue de Métaphy- 

 sique et de Morale. 



' Les plus récents de ces ouvrages sont : The Theory of 

 functious of a real variable, ym- E. W. Hobson (Cambridge 

 University Press. I!)07), et Die Entwickelung der Letirc von 

 den PuolitmannJgl'altigkeitcD, zvei[erTei\,<[\àv A. ScHaEsn.iES 



sentes jiar des lettres, sans se préoccuper de leur 

 valeur particulière; de môme, la Théorie des fonc- 

 tions se distingue de l'Analyse des fonctions parti- 

 culières en ce qu'elle cherche à dégager les pro- 

 priétés générales, sinon de toutes les fonctions 

 concevables, du moins de classes étendues. L'Al- 

 gèbre emploie une lettre x pour désigner un 

 nombre quelconque, une variable; de même, la 

 Théorie des fonctions emploie la notation /'(x) pour 

 désigner une fonction non précisée. Je n'ai pas à 

 retracer ici l'histoire complète de cette notion 

 générale de la fonction arbitraire f{x); les re- 

 cherches dont nous aurons à parler tout à l'heure 

 ont beaucoup contribué à éclaircir et à préciser 

 cette notion, tant dans le domaine des variables 

 réelles que dans celui des variables complexes; 

 mais, au moment oii est née la Théorie des en- 

 sembles, le principal elfort des géomètres portait 

 sur deux catégories de fonctions, assurément parti- 

 culières, mais dont l'importance exceptionnelle 

 justifie la faveur longtemps exclusive qui leur fut 

 témoignée par les chercheurs : je veux parler des 

 fonctions analytiques d'une variable complexe et 

 des fonctions de variables réelles représentables en 

 série trigonométrique. Ces deux catégories de fonc- 



(Teubuer, Leipzig, 1908). Ce dernier ouvrage est lecomplémenl 

 du Bericht publié sous le même titre il y a une dizaine 

 d'années {Jahresbefichl der Deutschen Mathematiker-Ve- 

 rolaigung, t. VIII). Le fait seul que son étendue est compa- 

 rable à celle de l'iiuvrage primitif témoigne de la rapidité 

 des i)rogrès aciOMi|ilis pendant celte courte période. 



Comme onvrnges Iraricais sur la question, on doit citer la 

 traduction par M. Marotte d'une étude de M. G. Cantoh, le 

 créateur de la Théorie des ensembles : Fondements de 1» 

 Théorie des oombres Iranslinis (Hermann, 1903), certains 

 chapitres du Cours d'Analyse de M. Camille Jordan (Deu- 

 xième édition, Gaulhier-Villars, 1903), et la plupart des 

 livres de la Collection de monographies sur la Théorie des 

 fonctions (Gaulhier-'Villars), notamment : Leçons sur la 

 Théorie des fonctions, par Emu,e Bobel (1898); Leçons sur 

 l'intégration et la recherche des fonctions primitives, par 

 Henri Lebesgce (1904); Leçons sur les fonctions disconti- 

 nues, par René Baike (1903); Leçons sur les fonctions de 

 variables réelles et les développements en séries de poly- 

 nômes, par Emile Bobel, avec des Notes par Paul Painlevk 

 et Henri Lebesoie i1905); Leçons sur les séries trigonoœc- 

 triques, par Henri Lebesgue (1900). 



Nous ne pouvons citer tous les Mémoires originaux 

 publiés sur ces questions; nous nous contenterons de 

 signaler ceux qui se rapporteront plus particulièrement aux 

 points dont nous parlerons et, pour le surplus de la Biblio- 

 graphie, nous renverrons aux ouvrages précédents. Je 

 citerai cependant un long Mémoire en langue russe, que je 

 reçois pendant la correction des épreuves et qui me parait 

 renfermer une partie historique assez détaillée et une 

 bibhographie assez complète : Structure el mesura des 

 ensembles linéaires de points, par W. L. Nekrasow 

 (Tomsk, igOl). 



