316 EMILE BOREL — LA THÉORIE DES ENSEMBLES ET LA THÉORIE DES FONCTIONS 



lions sont, d'ailleurs, reliées par des liens élroils et 

 les progrès accomplis par l'une d'elles ont souvent 

 eu leur répercussion sur l'autre. Pour ne pas 

 allonger démesurément cet article, // luisserni 

 entièremenl de côté tout ce qui concerne les séries 

 trigonomélriques : par son importance, cette ques- 

 tion mériterait une étude spéciale et j'aime mieux la 

 passer entièrement sous silence que de l'etlleurer 

 trop brièvement. C'est donc seulement à propos de 

 la Théorie des fonctions analytiques que je vais 

 essayer de montrer comment la Théorie des en- 

 sembles est née naturellement de la théorie des 

 fonctions. 



C'est Cauchy qui a eu le premier la notion de la 

 fonction d'une variable complexe, conçue dans sa 

 généralité. Cette notion, d'abord confuse, s'est pré- 

 cisée peu à peu au cours de ses travaux. Pour 

 Cauchy, la propriété fondamentale qui définit une 

 fonction de variable complexe est la continuité de 

 la fonction et l'existence de la dérivée ' unique. Cette 

 propriété conduit à la possibilité de l'intégration le 

 long d'un chemin déformable, la valeur de l'inté- 

 grale ne changeant pas tant que le chemin ne tra- 

 verse pas un point singulier, puis à l'établissement 

 de la formule de Taylor. Telle est la marche qui est 

 restée classique en France, sous l'influence notam- 

 ment de l'enseignement d'Hermite. Weierstrass 

 enrichit cependant la théorie d'une idée nouvelle, 

 dont les conséquences sont d'une extrême impor- 

 tance: c'est la notion nette du prolongement nns- 

 lytique. Cette notion n'était pas complètement 

 étrangère à Cauchy, mais celui-ci s'était borné à 

 l'appliquer au calcul par cheminement des inté- 

 grales des équations différentielles (et aux dérivées 

 partielles). Partant d'une solution particulière d'une 

 telle équation, définie par un développement en 

 série, Cauchy savait suivre cette intégrale le long 

 d'un chemin donné à l'avance, n'étant arrêté que si 

 ce chemin contenait un point singulier". Ceci est 

 bien près de la conception de Weierstrass; mais il 

 est certaines généralisations qui paraissent faciles 

 après coup, et dont l'intuition n'appartient qu'aux 

 plus grands génies. Ce que Cauchy faisait seulement 

 pour une fonction définie par une équation diffé- 

 rentielle, Weierstrass le fit pour une série de 

 Taylor arbitrairement donnée a priori : dès lors, 

 c'était cette série, accompagnée de tous ses prolon- 

 gements, qui définissait la fonction analytique, et 

 cette simple diirérence de point de vue conduisit à 

 d'importantes découvertes. Nous n'avons à nous 

 occuper ici que de celles qui se rattachent à la 



' lleprenant le point de vue de Cauchy, M. Goursal a 

 ilcmonlré récemment, en toute rigueur, que ces deux comli- 

 lions entraînent la continuité du la Jérivoe [Ti-uiisociiona 

 lit llic Amcricaa Matlicmatical lioeiety, t. 1). 



* Œuvres de Cauchy, S. I, t. V, p. 360 el suiv. 



Théorie des ensembles : c'est l'élude des points sin- 

 guliers des fonctions analytiques générales de 

 Weierstrass qui força les analystes à considérer 

 des ensembles très généraux et à en approfondir 

 l'étude. 



Lorsqu'on donne, en eJTet, une série de Taylor 

 dont le rayon de convergence est fini (ce (jue 

 Weierstrass appelait un élément de fonction ana- 

 lytique), on ne sait que peu de chose sur les singu- 

 larités de la fonction'; toutes les hypothèses sont 

 permises à ce sujet, de sorte que Y ensemble de ces 

 singularités est un ensemble de points du plan à 

 peu près quelconque; on a été ainsi naturellement 

 conduit à classer et à étudier de tels ensembles. 

 Une première propriété de l'ensemble des singula- 

 rités résultait des définitions mêmes de Weierstrass ; 

 si un point A est un point régulier de la fonction, 

 il existe un cercle de centre A et dans lequel la 

 fonction est représentée par une série convergente; 

 il n'y a donc pas de points smguliers dans ce 

 cercle; on exprime cette propriété en disant que 

 l'ensemble des points réguliers est un ensemble 

 ouvert : c'est un ensemble tel que chacun de ses 

 points est centre d'un cercle dont lous les points 

 appartiennent à l'ensemble. Comme conséquence, 

 l'ensemble des points singuliers est un ensemble 

 fermé^, c'est-à-dire que tout point A dans le voisi- 

 nage duquel il y a une infinité de points de l'en- 

 semble appartient lui-même à l'ensemble. Car, si un 

 tel point A n'appartenait pas à l'ensemble des points 

 singuliers, ce serait un point régulier et, d'après ce 

 que nous venons de voir, il ne pourrait pas y avoir 

 dans son voisinage une infinité de points singuliers, 

 puisque tout point régulier est le centre d'un cercle 

 dont tous les points sont réguliers. 



Les points A dans le voisinage desquels il y a 

 une infinité de points d'un ensemble E sont appelés 

 points-limites de E; leur ensemble s'appelle 

 Vensemble dérivé de E et est souvent désigné 

 par E'. Un ensemble /ei'/«e peut ainsi être carac- 

 térisé comme un ensemble qui contient tous les 

 points de son dérivé; un ensemble est dit parfait 

 lorsqu'il est identique à son dérivé. 



On voit comment l'étude de l'ensemble des points 

 singuliers conduisait naturellement à poser des 



' Le pioblème de la détermination des sinfjularités d'une 

 fonction dont on eonnait le dcvelopiiement de Taylor est 

 l'un des plus difficiles de l'Analyse et est encore bien peu 

 avancé, malgré de brillantes et profondes recherches, parmi 

 lesquelles on doit particulièrement <'iler celles de M. llida- 

 mard (voir son livre sur la série ilc Taylor, collection 

 Se: en lia). 



^ Je suppose ici, pour simplifier, que la fonction consi- 

 dérée n'admet pas d'espace lacunaire, c'est-à-dire que tout 

 point du plan est régulier ou singulier: dans le cas général, 

 il y a trois ensembles au lieu de deux : l'ensemble des 

 puiiils réguliers, l'ensemble des points lacunaires et l'en- 

 semlilc des points singuliers ; les deux premiers sont ouverts 

 et le troisième fermé. 



