EMILE BOIÎEL — 1,.\ TIIÉOKIE DES ENSEMBLES ET L\ IIIÊUHIE DliS FOM'/riONS :il7 



délinitions relatives aux ensembles de points el à 

 étudier les propriétés générales de ces nouveaux 

 êtres analytiques. Mais c'est dans la recherche des 

 représentations analytiques des fonctions géné- 

 rales que la Théorie des ensembles allait se révéler 

 comme un outil indispensable. Depuis longtemps, 

 les géomètres savaient qu'une fraction rationnelle 

 peut être décomposée en éléments simples, c'est- 

 à-dire en une somme de termes dont chacun 

 n'admet comme point singulier qu'un seul des 

 points singuliers delà fonction. Il était naturel de 

 chercher à étendre une telle décomposition il une 

 fonction quelconque, et à la représenter par une 

 série dont chaque terme correspondrait à l'un des 

 points singuliers. Mais la question se posait dés 

 lors de savoir s'il était possible d'établir une cor- 

 respondance univoque et réciprocpie entre les élé- 

 ments d'un ensemble et les termes d'une série. 

 Conmie les termes d'une série peuvent être iiiiiné- 

 rolés à l'aide des nombres entiers consécutifs, la 

 question revenait à savoir s'il était possible de 

 numéroler les éléments d'un ensemble donné. La 

 réponse à cette question a été donnée par M. Georg 

 Cantor, qu'on doit regarder comme le fondateur de 

 la Théorie des ensembles, à laquelle sa contribution 

 fut et reste capitale : parmi les notions nouvelles 

 qu'il a introduites, il n'en est peut-être pas de plus 

 importante que celle d'ensemble déiioinbi'nhle, ou 

 ensemble dont les éléments peuvent être numé- 

 rotés au moyen des nombres entiers successifs : 

 1, -1. 3,... /;,... Il est facile de donner des exemples 

 d'ensembles dénombrables : les termes d'une série 

 simple constituent un tel ensemble et en ont été le 

 premier exemple; il en est de même de l'ensemble 

 des termes d'une série multiple, et aussi de l'en- 

 semble des termes d'un ensemble dénombrable de 

 séries. Ces propositions de M. Georg Cantor sont 

 rapidement devenues classiques et sont maintenant 

 d'un usage co>irant : ce n'est pas une raison pour 

 en méconnaître l'importance, ni pour admirer 

 moins l'effort d'abstraction qui était nécessaire 

 pour arriver à cette notion générale d'ensemble 

 dénombrable. 



Il est moins aisé de délinir des ensembles qui ne 

 soient pas dénombrables; à vrai dire, si l'on reste 

 sur le terrain purement arithmétique, la possibi- 

 lité d'une telle déCiuition dépend du sens qu'on 

 attache à ce terme déllnition; c'est là un point sur 

 lequel nous reviendrons tout à l'heure; mais la 

 Géométrie nous fournit de nombreux exemples 

 d'ensembles non dénombrables. Ces exemples, 

 malgré leur variété, se rattachent tous à un même 

 concept géométrique : le concept du continu. Nous 

 accepterons pour l'instant ce concept comme pri- 

 mitif, sans en discuter le fondement métaphy- 

 sicfue : nous admettrons que l'on sait ce que c'est 



que l'ensemble des points d'un segment de droite, 

 ou ([ue l'ensemble des points intérieurs à un carré, 

 ou intérieurs à un cube, etc. Ces divers ensembles 

 ne sont pus dénombrables, comme il est aisé de le 

 démontrer par un raisonnement dont le type est 

 devenu classique. En d'autres termes, il n'csl pas 

 possible d'établir une correspondance univoque et 

 réciproque entre l'ensemble des points d'un seg- 

 ment de droite et l'ensemble des nombres entiers 

 successifs. M. Georg Cantor exprime ce fait en 

 disant que deux tels ensembles n'ou/ pus même 

 puissance. Au contraire, deux ensembles dénom- 

 brables ont même puissance; de même, fait plus 

 singulier, l'ensemble des points d'un segment de 

 droite a même puissance que l'ensemble des 

 points intérieurs à un carré : il est possible d'éta- 

 blir entre ces ensembles une correspondance uni- 

 voque et réciproque, c'est-à-dire telle qu'à tout 

 point de la droite corresponde un point et un seul 

 de la surface du carré et qu'à tout point de la 

 surface du carré corresponde un point et un seul 

 de la droite. Ce résultat est l'un des plus curieux 

 qu'ait obtenus M. Georg Cantor; il lui permit de 

 définir la puissance du continu : c'est la puis- 

 sance commune de l'ensemble des points d'un seg- 

 ment de droite, ou d'un carré, ou d'un cube, ou 

 d'un espace à n dimensions. 



On a dit parfois, et non toujours sans ironie, 

 qu'une théorie est générale lorsqu'elle a au moins 

 deux applications. C'est le cas de la théorie de la 

 puissance : les seules applications qui en aient été 

 effectivement faites sont celles que nous venons de 

 mentionner : la puissance des ensembles dénom- 

 brables, et la puissance du continu; .se borne- 

 rait-elle à cela, la théorie de la puissance n'en 

 occuperait pas moins une place importante en 

 Mathématiques; nous indiquerons brièvement tout 

 à l'heure quels développements cette théorie a 

 reçus, développements jusqu'ici restés sans appli- 

 cations, pour des raisons peut-être essentielles à 

 leur nature; mais, auparavant, il convient d'in- 

 sister sur cette notion de puissance, en se bornant 

 aux tlcu\ exemples fondamentaux que nous venons 

 d'indiquer. 



La noiion de puissance généralise celle de 

 nonilire cardinal; deux collections finies d'objets 

 ont le même nombre cardinal lorsqu'on peut 

 coupler les objets de ces collections, de manière 

 que chaque couple renferme un objet de chacune 

 des deux collections' ; lorsqu'on a deux ensembles 



' De\ix cullfctions finies ont le même nombre ordinni 

 lorsqu'on peut délinii' Vordre relatif de deux objets quel- 

 conques de chacune d'elles et établir ensuite une corros- 

 pondance entre les deux collections de manière qu'à deux 

 objets de l'une d'elles coirespondent deux objets de Tautie. 

 rangés dans le même ordre. Pour les collections finies, le 

 nombre nnlinal se confond avec le nombre cnnlinnl : il n'en 



