."^IS É3IILE BOllEl. — LA THËORIE DES ENSEMBLES ET LA THÉORIE DES FONCTIONS 



infinis dont les éléments peuvent ainsi être couplés 

 deux à deux, ils ont même puissance; on peut dire 

 aussi qu'ils ont même nombre cardinal, mais il 

 faut prendre garde que ces nombres cardinaux des 

 ensembles infinis ont des propriétés fort dilTérentes 

 de celles des nombres cardinaux ordinaires. Soit, 

 par exemple, a le nombre cardinal de l'ensemble E 

 des nombres entiers' ; il est clair que c'est aussi le 

 nombre cardinal de l'ensemble P des nombres 

 pairs, car à cbaque entier on peut coupler le 

 nombre pair qui est son double; on réalise ainsi la 

 correspondance univoque et réciproque suivante 

 entre les ensembles E et P : 



i. 2, 3, 4, s, (i. -, 8, 



2, i, G, 8, 10, 12. Il, 16, 



Au-dessous de cbaque élément de E, nous avons 

 placé l'élément correspondant de P. De même, 

 l'ensemble I des nombres impairs a même nombre 

 cardinal a que l'ensemble E, car on peut réaliser la 

 correspondance suivante : 



1. 2, 3, i. :,, 6, 7, 8 

 i, 3, 3, 7, 9, 11, 13, lo 



Les ensembles E, P, I ont donc tous trois a comme 

 nombre cardinal; mais l'ensemble E est formé par 

 la réunion de P et de I ; c'est la somme de ces 

 ensembles, d'après la définition arithmétique élé- 

 mentaire de l'addition: on est donc conduit à 

 écrire la relation : 



relation qui entraîne, en remplaçant chaque en- 

 semble par son nombre cardinal, la formule singu- 

 lière : 



«+» = «. 



On démontrerait très aisément, par des procédés 

 analogues, qu'un polynôme quelconque en a, à 

 coefficients entiers, est égal <i a ; on voit combien 

 les règles du calcul des nombres cardinaux infinis 

 (ou transfinis, comme on dit aussi) diffèrent des 

 règles du calcul des nombres ordinaires. Mais nous i 

 reviendrons sur ce point tout à l'heure ; je voudrais 

 terminer cette première partie de mon étude en 

 indiquant comment les premiers principes de la 

 Théorie des ensembles ont rendu à la Théorie des 

 fonctions les services pour lesquels ils avaient été 

 créés. 



Une classification put être l'aile des fondions 

 analytiques uniformes suivant (jue l'ensemble de 

 leurs points singuliers est dènombrable, forme une 

 ou plusieurs lignes, ou est un ensemble ]iarfait ne 



est pas de nii-mc pour les fiiseiiildcs infinis; nons ne i)uur- 

 nins parler ici des nonit)i'es onlinau.\ infinis. 



' On désigne souvent ce nombre par la lellre liébiaï((iio 

 .■ilfph avec findice zéro; cette notation si' r.itl.Hlic à une 

 théorie des aleplis successifs, dont ntms ilirmis (ni mut 

 toni à riicnrf. 



formant nulle part une ligne'. Examinons succes- 

 sivement ces trois cas : 



1° Si l'ensemble des points singuliers est dènom- 

 brable, il est possible de former une série dont 

 chaque terme correspond à l'un de ces points; le 

 problème se pose naturellement dès lors de repré- 

 senter la fonction par une telle série: ce problème 

 a été complètement résolu par M. Miltag-Leffier, 

 dans un Mémoire célèbre [Acla Malhfmatica, t. II); 



2" Si les singularités forment des lignes, on peut 

 trouver une représentation analytique de la fonc- 

 tion par des .séries dont les points singuliers sont 

 choisis h peu près arbitrairement sur ces lignes. 

 De tels développements, dont M. Painlevé a donné 

 de nombreux et très remarquables modèles, sont 

 entièrement satisfaisants si l'on a en vue le calcul 

 de la fonction, c'est-à-dire la solution numérique 

 de problèmes de Mécanique, par exemple. 



L'arbitraire de ces développements est pratique- 

 ment avantageux, mais est un défaut théorique; 

 on ne voit aucune raison pour mettre en évidence 

 tels points singuliers plutôt que tels autres. Dans 

 certains cas, il a été possible de mettre en évidence 

 ceux des points singuliers, en infinité dènom- 

 brable, qui doivent être considérés comme les vrais 

 points singuliers, les autres n'étant singuliers que 

 par suite du voisinage de ceux-ci. Mais ces ques- 

 tions sont loin d'être entièrement élucidées et 

 appelleraient des recherches nouvelles". Signalons 

 que leur étude a conduit à d'importants résultats 

 sur la mesure des ensembles, résultats dont nous 

 aurons à indiquer les conséquences ; 



3° Le cas où les points singuliers constituent un 

 ensemble parfait ne formant nulle part une ligne 

 est le moins connu. La construction de ces en- 

 sembles parfaits est un des beaux résultats obtenus 

 par M. Georg Cantor dans la Théorie des ensembles ; 

 la méthode la plus simple pour réaliser cette cons- 

 truction est la suivante : un segment de droite 

 étant donné, divisons-le en trois parties égales et 

 supprimons le segment du milieu ; faisons la même 

 construction sur chacun des segments restants, 

 puis sur chacun des quatre .segments restants après 

 cette seconde opération, puis sur chacun des huit 

 segments restants après la troisième oiiéralion, et 



' Jr n'insisterai pas !ci sur la notion de ligne. Bien évi- 

 dinnnent, une fonction peut avoir des singularités des trois 

 t.vpes (pii précèdent: elle est alors la somme de fondions 

 n'ayant de singularités que de l'un des types. Il ne peut |ias 

 y avoir d'autres cas, d'après un tliéoréme fondanienlid lU- 

 la Théorie des ensembles, démontré parM. licmlixsdn : Tmil 

 ciisemblu fermé est la somme d'un enscinhlr pnii'tnl el 'l'un 

 eascmhie dènombrable. Ce théorème s'apiilii]iii' à l'ensemlih' 

 des singularités d'une fondion analytique, que nous savons 

 élrc fermé. 



' Voir E.iui.E BonEL : Sur quelques points de la Théorie 

 des fonctions [Aunalas de l'Ecole Normale, 1895), et Mé- 

 moire sur les séries de polynômes et de fractions ration- 

 nelles (Acla Mnlhcmalica, 1. XXIV). 



