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LA TlIfiORIt: DES ENSEMBLES ET LA TIlEOUllî DES FONCTIONS 31!l 



ainsi de suite iiKiéliniinent. Les poiiils qui iront 

 été supprimés dans aucune de ces oi)érations 

 successives constituent un ensemble parfait ne 

 formant nulle ])art une ligne; les segments sup- 

 primés ont été appelés par M. Daire se//ineiits adja- 

 cents à cet ensemble. On peut en donner la défini- 

 tion arithmétique suivante : si l'on suppose que les 

 extrémités du segment primitif ont pour abscisses 

 et 1, les points de l'ensemble sont ceux qui 

 peuvent être représentés, dans le système de numé- 

 ration de base 3, par une » fraction décimale' " 

 indéfinie, dont la partie entière est 0, les chifTres 

 qui suivent la virgule étant ou 2, à l'exclusion 

 de 1. Des exemples de fonctions possédant de tels 

 ensemldes de singularités ont été rencontrés par 

 M. Henri Poincaré dans ses travaux sur les fonc- 

 tions fuciisiennes, mais bien des points restent à 

 élucider dans la théorie générale des fonctions 

 caractérisées seulement par cet ensem!>le de sin- 

 gularités'. 



Je bornerai là ce rapide exposé de la première 

 période, où la Théorie des ensembles se borne à 

 résoudre les problèmes posés par la Théorie des 

 fonctions: l'étude détaillée des progrès réalisés 

 depuis par ces divers problèmes nous entraînerait 

 en deliors de notre cadre. 



II 



Les principaux des résultats acquis dans la 

 Théorie des ensembles, et dont les applications à la 

 Théorie des fonctions avaient été immédiates, 

 peuvent être classés en trois catégories princi- 

 pales : 



1° Résultats où intervient la Géométrie de situa- 

 tion, relatifs aux propriétés des ensembles de 

 points qui ne sont pas modifiées par une transfor- 

 mation continue (en particulier, propriétés des 

 points-limites, propriétés relatives aux chinensioiis 

 des ensembles continus : lignes ou surfaces, etc.); 



2" Résultats de Géométrie métrique, relatifs à la 

 théorie de la " mesure » des ensembles. La défi- 

 nition de la mesure a été donnée par G. Cantor 

 pour les ensembles fermés ; son extension pure 

 et simple aux ensembles non fermés conduisait 

 à des résultats non satisfaisants: on a universelle- 

 ment adopté aujourd'hui la définition à laquelle 

 j'ai été conduit ])ar l'étude de problèmes particu- 



' L'eiiiplui de l'adjectif dccininl ne doit prêter à aucune 

 confus on; le terme « fraction décimale » est pris par 

 opposition à " fraction ordinaire »: il s'agit de fractions qui, 

 dans le sj'sième de base trois, sont analogues aux fractions 

 décimales dans le système de base 10. 



' Voir la Thèse de M. Zoretli et la Note de M. Paul Pain- 

 levé dans les Leçons sur lus fonctions définies par les 

 équations tlilTcrentiollcs du premier ordre, par Pierre ftou- 

 troux (Colleclion de Monographies sur la théorie des 

 fonctions. Kauthicr-Villars, 1908). 



fiers et que M. Henri Lebesgue a systématisée'; 



3» Résultats de nature arithmétique; notions de 

 la puissance et de l'ordre; nombres cardinaux et 

 ordinaux. 



Examinons successivement ces trois catégories 

 de questions : 



1" Les recherches sur les ensembles au point de 

 vue de la Géométrie de situation ont été nombreuses 

 et ont conduit à des résultats importants. La plu- 

 part d'entre elles sont malheureusement trop spé- 

 ciales pour qu'il soit possible de les résumer sans 

 un appareil analytique qui ne peut trouver plac'e 

 ici. Nous indiquerons dans le troisième paragraphe 

 les résultats particulièrement intéressants au point 

 de vue géométrique; contentons-nous de signaler 

 ici la démonstration rigoureuse de l'impossibilité 

 d'établir une correspondance hi-con/imie entre 

 deux domaines d'un nonUire différant de dimen- 

 sions, c'est-à-dire faisant correspondre à un point 

 de l'un quelconque de ces domaines un point 

 unique de l'autre, de telle manière qu'à deux points 

 indéfiniment voisins correspondent toujours deux 

 points indéfiniment voisins"; comme nous l'avons 

 dit plus haut, M. Georg Cantor a prouvé que, sans 

 cette dernière condition, la correspondance peut 

 être établie. 



On devrait aussi rattacher à cet ordre de ques- 

 tions des recherches très profondes de M. René 

 Baire, ayant précisément pour but de dégager la 

 notion du point limite des considérations géomé- 

 triques qui, si elles sont quelquefois une aide, sont 

 parfois aussi une gêne. Par la considération de 

 suites d'entiers, M. Baire définit des éléments ana- 

 lytiques dont les propriétés sont plus simples que 

 celles des points d'un espace géométrique quel- 

 conque. L'ensemble de ces éléments a pu être 

 appelé par lui ; fespace à zéro dimension. 

 Cet effort d'abstraction considérable promet d'être 

 récompensé par une grande simplification dans 

 l'élude des propriétés des fonctions de telles 

 variables. Mais je dois me borner à ces indica- 

 tions sur ces travaux, car la publication n'en est 

 pas achevée^; ils joueront un rôle fondamental 

 dans le développement ultérieur de ces théories; 



2° La théorie de la mesure des ensembles a été, 

 comme je l'ai indiqué, rendue nécessaire par des 

 problèmes posés par la Tliéorie des fonctions. Pour 

 mesurer un ensemble du dehors, comme l'ont fait 

 M. Georg Cantor et, après lui, M. Camille Jordan, 

 on divise le segment de droite qui le contient en 



' Voir, dans mes Leçons sur la Théorie des fondions, le 

 chapitre sur les ensembles mesurables et les Leçons sur 

 l'intégration de M. Lebesgue. 



' Voir notamment Baire : Bulleliu des Sciences Matbé- 

 ma tiques, avril 1907. 



" Voir Acla Malhematica. t. XX.XI cl suivants. 



