3-20 E3IILE BOIÎEL — LA THÉORIE DES ENSEMBLES ET LA THÉORIE DES FONCTIONS 



un nombre indéfiniment croissant d'intervalles, et 

 on classe ces intervalles en trois catégories, suivant 

 que tous leurs points, ou quelques-uns d'entre eux, 

 ou aucun d'eux n'appartiennent à l'ensemljle. La 

 limite de la somme des intervalles de la première 

 catégorie est la mesure intérieure; la limite delà 

 somme des intervalles des deux premières catégo- 

 ries est \a. mesure extérieure; l'ensemble est me- 

 surable au sens de M. Jordan, ou mesurable J, si 

 (•es deux mesures sont égales. Mais ces définitions 

 ont l'inconvénient de classer parmi les ensembles 

 non mesurables un très grand nombre d'ensembles 

 très simples, dont on peut définir simplement la 

 mesure lorsqu'on les étudie du dediiiis et non plus 

 du dehors, je veux dire lorsqu'on considère des 

 intervalles choisis précisément de manière à en- 

 fermer à leur intérieur les éléments de l'ensemble. 

 A ce point de vue, la théorie de la mesure des en- 

 sembles exige seulement que, ayant défini la lon- 

 gueur d'un intervalle comme sa mesure, on fasse 

 les conventions suivantes, évidemment nécessaires : 

 la somme d'un nombre limite ou illimité d'en- 

 sembles sans partie commune a pour mesure la 

 somme de leurs mesures; la diflërence de deux 

 ensembles (l'ensemble d'où .l'on retranche conte- 

 nant, par hypothèse, tous les éléments de l'en- 

 semble soustrait) a pour mesure la différence de 

 leurs mesures. 



A cette théorie de la mesure, on }ieut rallacher 

 la théorie nouvelle de l'intégration due à M. Henri 

 Lebesgue. Nous y reviendrons tout à l'heure, mais 

 je tiens à me hâter de dire que ce n'est point là une 

 de ces généralisations faciles, conséquence néces- 

 saire des travaux antérieurs et qui doivent néces- 

 sairement être trouvées par quelqu'un. Cette 

 théorie de l'intégration est une découverte capitale, 

 dont l'importance dépasse de beaucoup la théorie 

 de la mesure des ensembles; c'est un instrument 

 analytique nouveau, mis à la disposition des géo- 

 mètres par M. Lebesgue; nous indiquerons plus 

 loin quelques-uns des progrès qui ont pu être 

 réalisés jusqu'ici grâce à cet instrument; il y a 

 tout lieu de croire que leur nombre et leur impor- 

 tance ne cesseront de croître, mais on peut dès à 

 présent considérer cette découverte de M. Lebesgue 

 comme le plus bel exemple de jirogrès importants 

 réalisés dans laTliéorie des fonctions et qui ne l'au- 

 raient pas été, du moins en ce moment et sous cette 

 forme, si la Théorie des en.sembles n'avait jamais 

 été cultivée pour elle-même. Cet exemple suffirait 

 à justifier le temps et les efibrts consacrés à cette 

 élude ; 



•i° Les rèsiillals ohlcniis (huis l'élude arilluiié- 

 tique des ensembles, c'est-à-dire dans la « numé- 

 ration >> des nombres Iransfinis, cardinaux ou 

 ordinaux, sont loin d'èli'e aussi encourageanls, à 



mon avis du moins. Ce n'est pas que ces travaux 

 ne soient pas nombreux, ni qu'ils soient dépourvus 

 d'intérêt ; lorsque l'on a surmonté les premières 

 difficultés de ce genre d'études (dont on peut dire 

 qu'il est aussi abstrait par rapport aux autres 

 branches des Mathématiques que celles ci le sont 

 par rapport aux sciences expérimentales), on est 

 même intéressé très vivement par le calcul de ces 

 singuliers symboles. Mais, d'autre part, on ne peut 

 pas s'empêcher d'être frappé du fait que cet en- 

 semble considérable des travaux s'isole de plus en 

 plus du reste des Mathématiques, et n'a donné 

 aucun résultat nouveau dans la Théorie des fonc- 

 tions. Et l'on est ainsi conduit à se demander si 

 celte stérilité n'a pas une raison profonde et si 

 cette magnificfue floraison logique n'est pas viciée 

 par quelque défaut secret. Elle est vraie, si l'on 

 prend comme définition de la vérité abstraite le 

 non-contradictoire, car il semble bien que l'on 

 puisse, au point de vue purement abstrait, échapper 

 à la contradiction; mais le peut-on au point de vue 

 concret? Il peut iiaraitre singulier de parler d'un 

 tel point de vue en Mathématiques; mais les êtres 

 analytiques, pour être créés par nous, n'en sont 

 pas moins des réalités concrètes, exprimables seu- 

 lement au moyen de mots et de signes ; c'est l'étude 

 de ce monde analytique que se propose le matlié- 

 maticien et sa méthode la plus sûre est, comme Je 

 disait volontiers Hermite, l'observation attentive 

 des faits. C'est sur ce terrain que je me suis placé 

 récemment pour discuter une objection qui a été 

 formulée ici même ' ; je ne reviendrai pas ici sur 

 cette discussion et me contenterai d'en indiquer la 

 conclusion : La notion d'ensemble non dénombrable 

 est une notion purement négative, en ce sens qu'on 

 nepeutpas donner d'exemple efTectif d'un ensemble 

 qui ne soit pas dénombrable. Mais on doit distin- 

 guer entre les ensembles elTectivement êmimé- 

 rables, c'est-à-dire tels que l'on puisse, au moyen 

 de conventions précises, fixer sans ambiguïté le 

 rang de chaque élément, et les ensembles non 

 e'Jectivemenl énumérahles, bien que déiiomhrahles, 

 pour lesquels une inlinilê de conventions .seraient 

 nécessaires pour fixer la correspondance entre les 

 éléments c4e l'ensemble et la suite des nombres 

 entiers. 



Ces réserves faites, voici queli|ues indiivitions sur 

 ht théorie de hi numération des nomjjres Iransfi- 

 nis. 



I orsqu'iine opération, ayant été répétée un nom- 



• J. IticiiAriD : Revue générale des Sciences, t. XVI, 1905. 

 cl Acta Malhematica.t. XXX (1906); pour d'autres parado.xes 

 analogues et leur discussion, voir le livre de M. Schoenflies 

 cilé])lustiaut,p. 26 et suiv., et le livre dcM.E. W. llobson. J'ai 

 expose"; mon point de vue dans une Note qui vient de 

 paraître rlans les Annales de l'Ecole Normale supérieure 

 'iiclolirc 1908). 



