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LA Tlir:OI{li:; DKS ENSKMHLKS Kl l,.\ THEORIE 1>KS lUNCTIO.NS '.i-H 



liro lini de fois, peut encore èlre répétée une fois, 

 (|iiel que soit ce nombre fini, on dit que la répéti- 

 lion indéfinie de celte opération définit une suite 

 ilrnomljrable, ou de première puissance, dont le 

 lype le plus simple est donné par la suite indéfinie 

 des nombres entiers. On désignera parn^ le nombre 

 rardinal qui exprime la puissance de cette suite'. 



De même, si une opération, étant répétée une inli- 

 nité dénombrnble quelconque de fois, peut encore 

 être répétée une fois, quelle que soit cette infinité 

 de puissance fl„, on dit que la répétition Iranslinie 

 de cette opération définit une suite de seconde puis- 

 sance, dont le nombre cardinal sera s,. 



On définira de la même manière les nombres 

 cardinaux successifs fl., /)., ...; on établira ensuite 

 les règles de calcul de ces nombres et leurs rela- 

 tions avec les puissances définies par une autre 

 voie, telles que la puissance du continu ; si l'on 

 désigne celle-ci par c, on a, par exemple : 



Il étant un entier quelconque, 10 par exemple; car 

 il est clair que l'ensemble des nombres décimaux 

 lie p chiffres renferme 10'' éléments ; si l'on rem- 

 |dace l'entier p par a„, on a l'ensemble des fractions 

 <lécimales illimitées, c'est-à-dire l'ensemble arith- 

 métique équivalent au continu. 



J'ai tenu à indiquer ce raisonnement comme type 

 de ceux auxquels on est amené dans l'étude de ces 

 questions; mais je me bornerai à ces indications, 

 car tous ces développements sont restés jusqu'ici 

 dans le domaine de la logique pure. 



III 



.l'ai hâte d'arriver à la période la plus récente, 

 dans laquelle les idées fondamentales acquises au 

 moyen de l'étude de la Théorie des ensembles sont 

 suffisamment assimilées pour que cette théorie 

 devienne en quelque sorte inutile, son seul rôle 

 — fort considérable — ayant été de créer un 

 état d'esprit permettant un magnifique développe- 

 ment de la Théorie des fonctions. Tout ce dévelop- 

 pement peut être exposé d'une munière presque 

 entièrement indépendante de la Théorie purement 

 aixslraite des ensembles ; mais il est conditionné par 

 les formes de pensée acquises au moyen de l'étude 

 de cette théorie : celle-ci n'a jamais rendu de plus 

 éclatants services. 



Signalons d'abord les beaux travaux de M. René 

 Baire sur les séries de polynômes. Weierstrass 

 nous a appris que toute fonction continue dans un 

 intervalle peut être représentée par une série de 



' <ln emploie souvent l.i letlii- 

 nous écrivons simplement a. 



lielJi-.-iiipie iiji-pli 1,1 un 



polynômes, uniformément convergente dans c; I 

 intervalle; réciproquement, si une série de \hA\- 

 nomes converge uniformément dans un intervalle, 

 elle y représente une fonction continue. Mais, si on 

 laisse de côté la condition de convergence uni- 

 forme, que peut-on dire au sujet des fonctions 

 représentables, dans un intervalle donné, par une 

 série de polynômes simplement convergente? On 

 peut caractériser aussi ces fonctions en disant que 

 ce sont des limites de fonctions continues. 11 était 

 bien vraisemblable que ce n'étaient pas les fonc- 

 tions discontinues les plus générales, mais le pro- 

 blème qui consistait à les caractériser parmi l'en- 

 semble de toutes les fonctions discontinues possibles 

 était des plus difficiles. M. Baire a donné à ces 

 fonctions le nom de fonctions de classe 1, et il a 

 démontré que la condition nécessaire et suf/isanlc 

 pour qu'une /'onction soit de classe 1 est qu'elle soi! 

 ponctuellement discontinue sur tout enscmJjle par- 



frlil. 



Ex|iliquons le sens de cet énoncé. Lorsqu'une 

 fonction est définie dans un intervalle, on peut se 

 borner à considérer ses valeurs pour les points d'un 

 ensemble compris dans cet intervalle; un point de' 

 cet ensemble sera dit alors un point de continuité 

 de la fonction par rapport à l'ensemble, si la valeur 

 de la fonction en ce point est égale à la limite des 

 valeurs qu'elle prend en des points de l'ensemble 

 tendant vers ce point. Cette définition est particu- 

 lièrement intéressante lorsque l'ensemble est par- 

 fait, c'est-à-dire est identique à l'ensemble de ses 

 points limites : la continuité par rapport à un 

 ensemble parfait ou sur un ensemble parfait est 

 entièrement analogue à la continuité dans un inter- 

 valle. Lorsqu'une fonction n'est pas toujours conti- 

 nue, elle a des points de continuité et des points de 

 discontinuité; on ditqu'elle est ponctuellement dis- 

 continue lorsque tout intervalle, si petit tju'il soit, 

 contient des points de continuité. D'après l'énoncé 

 de M. Baire, pour qu'une fonction soit représen- 

 table dans un intervalle donné comme limite des 

 fonctions continues, il est nécessaire et suffisant 

 que, sur tout ensemble parfait choisi dans l'inter- 

 valle donné, la l'onction soit ponctuellement discon- 

 tinue. 



Si l'on considère une série de fonctions de 

 classe i, il n'est pas malaisé de démontrer que, .s/ 

 elle est uniformément convergente, elle représente 

 une fonction de classe 1 (ou comme cas particulier 

 une fonction continue, que l'on qualifiera de 

 classe 0). Mais, si elle n'est pas uniformément con- 

 vergente, la série représentera en général une fonc- 

 tion discontinue plus compliquée que les fonctions 

 de classe 1; on dira que c'est une fonction de 

 classe 2. Une fonction de classe 2 peut donc être 

 représentée par une série convergente, dont chaque 



