3-22 EMILE ROREF. — L\ THIÎORIE DES ENSEMBLES ET L.\ THÉORIE DES EONCTIONS 



terme est lui-même une série convergente de poly- 

 nômes: c'est-à-dire par une série double de poly- 

 nômes. Mais il faut bien prendre garde qu'une telle 

 série double ne peut pas être ramenée à une série 

 simple, car, la convergence n'étant pas uniforme, 

 on n'a pas le droit de modilier l'ordre des termes. 

 On définira de même les fonctions de classe 3, 

 comme limites de fonctions de classe 2, etc.'. 



Cette classification montre d'abord combien est 

 complexe la notion générale de fonction discon- 

 tinue, ce que l'on pouvait déjà pressentir; mais elle 

 fait mieux : elle permet de commencer l'étude de 

 ces fonctions en séparant celles qui sont relative- 

 ment simples de celles qui sont indéfiniment com- 

 pliquées. Les fonctions discontinues peuvent donc 

 devenir un sujet d'étude ; il est permis d'espérer 

 que ce sujet sera fécond et ne sera pas dépourvu 

 d'applications pratiques : la discontinuité parait 

 être, dans les phénomènes nalurels, aussi fréquente 

 que la continuité. 



A ces recherches de M. Baire sur les séries de 

 polynômes réels, on peut rattacher celles de M. Paul 

 Montel' sur les séries de polynômes à variable 

 complexe ; mais nous devons nous contenter de les 

 signaler, malgré leur très grand intérêt, car nous 

 ne pouvons entrer ici dans tous les détails qui 

 seraient nécessaires pour que l'importance en soit 

 comprise. 



J'ai déjà fait allusion à la découverte capitale de 

 M. Lebesgue concernant l'intégration; je voudrais 

 essayer d'en indiquer le principe et de faire pres- 

 sentir l'influence considérable qu'elle exercera cer- 

 tainement sur le développement de nombreuses 

 théories mathématiques. 



Rappelons la définition classicfue de l'intégrale 

 définie, qu'on pouvait regarder comme définitive 

 depuis les travaux de Riemann^ et le Mémoire sur 

 les fonctions disconlinues' de M. Gaston Darboux. 

 Une fonction étant donnée dans un intervalle, on 

 partage cet intervalle en intervalles partiels de plus 

 en plus petits et l'on multiplie la longueur de 

 chacun de ces intervalles par une valeur prise par 

 la fonction dans cet intervalle. Si la somme de ces 

 produits tend vers une limite indépendante du 

 choix des intervalles (pourvu qu'ils tendent vers 0) 

 et du choix de la valeur de la fonction dans chaque 

 intervalle, on dil que la fonction est intécjrable. 

 Nous préciserims en disanl : inléf/rnhlo nu sens rie 



' Lorsque l'on aur.i iféliiii le.s liinclinns (foni la classe est 

 lin entier (luelconqiie n, on appellera fonction de classe u> 

 une fonction ijui peut être délinie )>ar une sCrie dont les 

 termes sont de classe variable dépassant un entier (7ucl- 

 conque u et l'on introduira ainsi successivement des l'om- 

 tions dont la classe sera égale à un noinhre transfini quel- 

 conque. Mais je n'insiste pas ici sur ce point. 



' Thèse. 



■' Œuvres de Riemana. 



' Aaaulcs (la l'Ecjle Normiile, UTi. 



liionmnn; ou, plus brièvement, iulcr/i-ahle R. 

 Lorsqu'une fonction n'est pas intérjrahle R, on 

 peut définir .son intégrale supérieure en multi- 

 pliant la longueur de chaque intervalle partiel par 

 le ninxinium de la valeur de la fonction dans cet 

 intervalle; cette intégrale supérieure e\is[.e tou- 

 jours, pourvu que la fonction soit liornéo (c'est- 

 à-dire que toutes ses valeurs soient comprises 

 entre des limites finies). On définit d'une manière 

 analogue Y intégrale intérieure et l'on peut donner 

 l'énoncé suivant: La fonction est /H/A//'fl/j/eRlors((ue 

 l'intégrale supérieure et l'intégrale inférieure sont 

 égale». 



Un caractère important de cette définition est le 

 suivant : la division en intervalles est entièrement 

 indépendante des propriétés de la fonction; si l'on 

 considère deux fonctions difTérentes, on prendra 

 pour ces fonctions les mêmes intervalles, c'est- 

 à-dire qu'on leur appliquera un procédé de calcul 

 uniforme. C'est évidemment là un grand avantage 

 pour le calcul; mais c'est en même temps un incon- 

 vénient : un tel procédé, qui ne tient ]ias compte 

 des propriétés particulières de la fonction à lacjuelle 

 il s'applique, peut être comparé à ces vêlements 

 confectionnés qui ne sauraient être exactement 

 ajustés, surtout s'il s'agit d'habiller un individu 

 difforme : certaines fonctions singulières ont pu 

 être justement comparées aux types monstrueux de 

 la biologie. 



La méthode d'intégration de M. Lebesgue, au 

 contraire, est en quelque sorte « faite sur mesure »; 

 elle s'adapte exactement aux propriétés de chaque 

 fonction particulière. Aussi beaucoup de fonctions 

 qui ne sont pas inlégrables R sont infégrables au 

 sens de M. Lebesgue ou, comme nous dirons, 

 intègrai)Ies L. 



Au lieu de diviser l'intervalle d'intégration en 

 intervalles partiels quelconques, on considère, dans 

 cet intervalle total, l'ensemble des points pour les- 

 quels la fonction à intégrer est comprise entre des 

 limites très rapprochées; cet ensemble peut être 

 plus ou moins compliqué, mais on sait le mesurer 

 dans tous les cas'. On obtient un des lermes dont 

 la somme doit fournir une valeur approchée tie 

 l'intégrale en miillipliant la mesure de cel ensemble 

 par la plus grande ou la plus petite des valeurs 

 (|u'y prend la fonction. Mais, d'après la définition 

 même de l'ensemble, cette plus grande et cette plus 

 petite valeurs sont très voisines l'une de l'autre, 

 (]uelle que soit la rapidité avec laquelle la fonction 

 varie; au lieu que, dans la métliode de Riemann, 



' c'est seulement au prix de très grands efforts que 

 M. Lebesgue est parvenu à donner un exemple d'un en- 

 semble qui ne soit pas mesurable au moyen des principes 

 indi(piés plus liant. On peut iWrc ([ue, pratiquement, ioMS les 

 ensembles sont mesuraljles. 



