EMILE BOREL — L.V TlIKORIK DKS ENSEMBLES ET l.\ TIlEoltlE DES FOiSCTlOiNS 3-2:i 



il pouviiil il rri ver que, lorsque les inlervalles tendent 

 vers 0, la ililVérence entre les valeurs extrêmes de 

 la fonction dans un intervalle (ou, comme on dit, 

 Voscillatioii de la fonction) conserve une valeur 

 snpérieure à un noml)re lixe. 



La méthode d'intégration de M. Lebesgue consis- 

 tera donc à diviser en un grand nombre d'inter- 

 valles partiels l'intervalle total de variation de 

 lu fonction à intégrer: à chacun de ces intervalles 

 ]iartiels correspond un ensemble de valeurs de la 

 variable; la somme des mesures de ces ensembles 

 est évidemment égale à la longueur de l'inter- 

 valle d'intégration. Si l'on considère les deux 

 sommes obtenues en ajoutant les produits de la 

 mesure de chaque ensemble par la plus grande et la 

 ]ilus petite valeur de la fonction dans cet enseadile, 

 la différence entre ces deux sommes est au plus 

 égale au produit de l'intervalle d'intégration par la 

 longueur du |)lus grand des intervalles partiels en 

 lesquels on a divisé l'intervalle de variation de la 

 fonction à intégrer; cette différence tend donc vers 

 zéro en même temps que la longueur des intervalles 

 partiels; on en conclut que toute fonction est inté- 

 grable, du moment que les ensembles utilisés dans 

 la délinilion sont mesurables, c'est-à-dire pratique- 

 ment toujours. 



La notion d'intégrale L est donc plus générale que 

 la notion d'intégrale R, qu'elle comprend d'ailleurs 

 comme cas particulier : lorsque l'intégrale R existe, 

 l'intégrale L existe aussi et a la même valeur. Mais 

 il est aisé de citer des cas où l'intégrale L existe, 

 tandis que l'intégrale R n'existe pas. 



Considérons, par exemple, une fonctiiui égale 

 à 1 pour les valeurs rationnelles de la variable et 

 à pour les valeurs irrationnelles; son intégrale U 

 n'existe pas, car dans tout intervalle, si petit qu'il 

 soit, le maximum de la fonction est 1 et son 

 minimum est 0; l'intégrale supérieure est donc 1 et 

 l'intégrale inférieure 0; mais l'intégrale L existe, 

 car on peut enfermer les nombres rationnels dans 

 des intervalles convenablement choisis, dont 

 l'étendue est aussi petite que l'on veut; en d'autres 

 termes, la mesure de l'ensemble formé par les 

 nombres rationnels est égale à 0. Donc l'intégrale L 

 de la fonction considérée est 0; si l'on considérait 

 une fonction égale, au contraire, à 1 pour x irra- 

 lionnel et nulle pour x rationnel, son intégrale L 

 serait égale à 1, tandis que, au point de vue de 

 Riemann, l'intégrale inférieure et l'intégrale supé- 

 rieure sont respectivement ou 1, comme pour la 

 fonction précédente. Cette remarque n'est pas inu- 

 tile, car elle prouve qu'on ne peut pas espérer 

 déduire la valeur de l'intégrale L des valeurs infé- 

 rieure et supérieure auxquelles conduit la méthode 

 de Riemann; on a bien une notion nouvelle, plus 

 profonde, qui atteint plus précisément la réalité. 



Il n'est pas possible d'énumérer ici toutes les 

 applications de cette notion : il suffit de songer à 

 toutes les questions mathémati(iues dans les([uelles 

 interviennent les intégrales définies. Je me conten- 

 terai de mentionner les applications à la théorie des 

 séries trigonométriques, dues à, M. Lebesgue lui- 

 même et aussi à M. Fatou ', ainsi que les recherches 

 de M. Lebesgue sur la rectification des courbes et 

 la quadrature des surfaces. 



Je voudrais insister davantage sur un résultat 

 fort curieux obtenu par M. Lebesgue, dans une 

 question classique en Géométrie infinitésimale : la 

 recherche des surfaces applicables sur le plan. On 

 sait que, sous certaines conditions d'existence et de 

 continuité relatives aux dérivées des fonctions qui 

 définissent la surface, on démontre que les seules 

 surfaces applicables sur un plan sont les surfaces 

 développables, c'est-à-dire les surfaces engendrées 

 par les tangentes à une courbe gauche. M. Lebesgue 

 s'est proposé de traiter la question d'une manière 

 plus générale, en supposant seulement vérifiées les 

 conditions nécessaires pour c[ue l'on puisse définir 

 la longueur d'une courbe de la surface; celle-ci est 

 applicable sur le plan si l'on peut établir entre ses 

 points et les points du plan une correspondance 

 telle que la longueur d'une courbe quelconque de la 

 surface soit égale à la longueur de la courbe cor- 

 respondante du plan. Dans ces conditions, M. Le- 

 besgue a trouvé des surfaces non développahles qui 

 sont applicables sur le plan. On peut se demander 

 si, lorsqu'on froisse une feuille de papier, la surface 

 obtenue, qui visiblement n'est pas développable, est 

 l'une des surfaces découvertes par M. Lebesgue. Je 

 ne pense pas que la question, posée sous cette 

 forme, puisse recevoir une réponse, car elle n'est 

 pas correcte. On ne doit pas perdre de vue, en efTet, 

 que les formules mathématiques, quelles qu'elles 

 soient, ne donnent jamais qu'une représentation 

 approchée de la réalité. Or, on peut, avec une erreur 

 aussi petite que l'on veut, regarder toute surface 

 (!omme formée de morceaux de surfaces dévelop- 

 pables, de même qu'on peut regarder toute courbe 

 à volonté comme continue ou comme discontinue 

 (à moins qu'il n'y ait des discontinuités finies, 

 toute fonction continue comme analytique, etc. La 

 question de savoir si telle pro]U'iété mathématique 

 précise' est vi-aie ou fausse pour un phénomène 



' Vuir les livres cités de M. Li-ljesgue et la Tlièse de 

 M. Fatou (Acla Mathcmatica, t. XXX). Je tiens à mention- 

 ner aussi le nom d'un jeune étudiant de Gôltingen, Fritz 

 Jerosch, dont les travaux sur ces sujets ont été interrompus 

 par une mort prématurée. 



' Quand je dis précise, j'entends, par exemple, que, le 

 mètre étant défini par l'étalon international de Breteuil, on 

 ne peut pas affirmer que telle barre de platine a précisément 

 2 mètres. Mais je crois qu'on peut aflirmer comme une vé- 

 rité absolue que la longueur d'une telle barre est égale à 



