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BIBLIOGRAPHIE — ANALYSES ET INDEX 



BIBLIOGRAPHIE 



ANALYSES ET INDEX 



1° Sciences mathématiques 



Boutroux (Pierre), Maître de Conférences à la Fa- 

 culté des Sciences de Montpellier. — Leçons sur les 

 Fonctions définies par les équations différen- 

 tielles du premier ordre, professées au Collège de 

 France, avec une Note de M. P. Painlevé, membre de 

 l'Institut.— 1 vol. in-H' de 190 pages. [Prix : fr.TiQ.) 

 Gauthier-Vilhirs, éditeur. Paris', 1909. 

 L'ouvrage de M. Boutroux fait partie de l'importanle 

 collection de monographies sur la 'l'héorie des Fonc- 

 tions, publiés sous la direction de M. Borel. L'auteur 

 s'est proposé de perfectionner la théorie des équations 

 différentielles du premier ordre, en s'inspirant des 

 progrès récents de la Théorie générale des Fonctions. 

 M. Boutroux considère plus particulièrement l'équa- 

 tion : 

 iv\ d.y_P(££l 



' ' Tx-^ijijy,' 



dans laquelle les fonctions P et Q sont des polynômes 

 entiers en .y et y. Les travaux, aujourd'hui classiques, 

 de M. Painlevé ont établi que, sauf un nombre res- 

 treint de cas où elle se ramène à l'équation de Riccati, 

 l'équaliou (E) définit des fonctions multiformes à un 

 nombre infini de branches, sur lesquelles on est 

 jusqu'ici très peu renseigné. M. Boutroux s'est, dès 

 lors, proposé, au sujet de ces foijctions, des problèmes 

 qui lui ont été suggérés par les recherches récentes de 

 la Théorie des Fonctions; .d'ailleurs, il limite sa 

 recherche à celles des équations (E) qui sont du type : 



rf.V 



-f A„ + .\,y + Ajj' + Ajv' = (les .V entiers en x). 



L'ouvrage comprend cinq chapitres et une impor- 

 tante Note de M. Painlevé. 



Le premier chapitre est un excellent exposé de l'état 

 actuel de la question. M. Boutroux établit d'abord les 

 propositions constituant ce qu'il appelle le point de 

 vue local, qui est relatif à l'étude de l'intégrale en un 

 point déterminé; il précise la distinction fondamentale 

 entre les points critiques fixes et les points critiques 

 mobiles de l'intégrale. Puis il se place au point de vue 

 nouveau de M. Painlevé : Que devient l'intégrale qui a 

 une valeur initiale déterminée, lorsque la variable 

 décrit un chemin quelconque à partir de sa valeur 

 initiale '.'Conformément aux conclusions du savant géo- 

 mètre, l'auteur expose d'abord le fait fondamental qu'en 

 dehors des points critiques fixes, l'intégrale n'a d'autres 

 singularités que des pôles ou des points critiques 

 algébriques; puis il établit que les seules équations (E) 

 dont les intégrales sont multiformes, mais à un nombre 

 Uni de branches, se ramènent, par des opérations 

 algébriques, à l'équation de liiccati ; la très intéressante 

 .Note de M. Painlevé, qui termine l'ouvrage, est une 

 étude a|)profoii(lie de ce cas important. 



M. Boutroux est ainsi amené à l'objet principal de 

 son livre, à savoir l'élude des intégrales multiformes à 

 un nombre infini de branches; il y consacre les cha- 

 pitres suivants. Dmms le second chapitre, il étudie la 

 croissance et l'allure d'une branche intt'grale isolée au 

 voisinage d'iui [xiint singulier; il considère en détail à 

 ce point de vue le type particulier d'équation (E) in- 

 diqué ci-dessus. Le troisièiiie chapitre traite d'une 

 classification des points singuliers transcendants des 

 intégrales, d'après le mécanisme suivant lequel s'échan- 

 gimt les déterminations de y autour du point singulier; 

 jdusicurs exemples montreni la complexité de la ques- 



tion. Dans le quatrième chapitre, M. Boutroux examine, 

 à ce point de vue, les points singuliers dits de Briot et 

 Bouquet, où le coefficient différentiel devient indéter- 

 miné : ils appartiennent, dans l'ensemble, à des types 

 très divers; M. Boutroux n'en envisage qu'un .seul, 

 d'ailleurs important, à titre d'application des méthodes 

 qu'il a indiquées dans les chapitres précédents. Enfin, 

 dans un dernier chapitre, l'auteur recherche les rela- 

 tions qui peuvent exister entre les ensembles de per- 

 mutations opérées au voisinage des singularités trans- 

 (HMidantes d'une même équation ; il étudie, en parti- 

 culier, le cas de l'équation : 



2-^ -f A, y* 4- Aav' = (.\, de degré deux), 



et montre sur cet exemple le rapport étroit du problème 

 actuel avec celui du chapitre 1. 



Tel est le ré.sumé très succinct de cet intéressant 

 ouvrage : c'est un livre de recherche originale et pro- 

 fonde, qui témoigne d'une véritable maîtrise en ces 

 difficiles problèmes. M. Lelieuvre, 



Professeur au Lycëe 

 et à l'École (les .Sciences de Rouen. 



Adliëmar (R. d'). — Exercices et Leçons d'Analyse. 

 — (Quadratures. Equations différentielles. Equa- 

 tions intégrales de M. Fredholm et de M. Volterra. 

 Equations aux dérivées partielles du second 

 ordre.) — 1 vol. rn-i", de vni-208 pai/es. [Pri.\ : fr.) 

 (iautliier- V'ilhirs, éditeur. Paris, 1909. 

 Tout le public mathématique connaît et apprécie 

 hautement le recueil d'exercices sur le Calcul infinité- 

 simal de Tisserand, soit la première édition (1877), 

 soit la deuxième (I89ij), enrichie de précieuses addi- 

 tions par M. Painlevé. Je ne saurais donner une idée 

 plus exacte, ni faire un meilleur éloge du livre île 

 M. d'Adhémar qu'en l'assimilant aune continuation du 

 recueil de Tisserand, étendue à des théories tout à fait 

 ncjuvelles, énumérées dans le titre. 



Un simple coup d'œil sur le livre, sur le résumé et 

 les dates des travaux qui y sont mentionnés, convainc 

 de la rapidité avec laquelle progresse la science. 



L. Auro.MNR, 



Ingénieur en Chef des Ponls-et-Cliaussées. 



farlbaiiiii (T.), Licencié es Sciences de l'Université 

 d'I'psal, Diplômé de fEcoIePolyteclinique de Stock- 

 liolui. — Contributions à la Théorie des mouve- 

 ments infiniment petits d'un gaz hétérogène. — 

 Thèse de Doctorat présentée n f Université cfUpsal. 



I vol. y'/i-S" de lil pages. Almquist et Wikscll, édi- 

 teurs, Upsal, 1908. 



L'étude des petits mouvements des gaz conduit, 

 comme on sait, à une équation aux dérivées partielles 

 du second ordre, du type dit hyperbolique. Comme, 

 d'autre part, certains problèmes (ceux que nous avons 

 nommés problèmes mixtes] se rapprochent étroite- 

 ment de ceux que traite la théorie du cas elliptique, 

 les progrès accomplis récemment dans l'une comme 

 dans l'autre de ces deux théories sont susceptibles 

 d'intéiesser la Dynamique aérienne. 



C'est ce que montre l'auteur en établissant qu'on 

 peut aujourd'hui élendie aux gaz hétérogènes la solu- 

 tion de problèmes iiu'on ne savait traiter précédem- 

 ment qu'eu supposant le lluide homogène, voire de 

 certains d'entn^ eux restés fort obscurs jusqu'ici, môme 

 dans ce cas particulier. 



II aurait même pu, parfois, aller plus loin dans celte 

 voie : certaines questions qu'il laisse en suspens trou- 



