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BIBLIOGRAPHIE 



ANALYSES ET INDEX 



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ANALYSES ET INDEX 



1" Sciences mathématiques 



Reynioiicl (Arnold). — Logique et Mathématiques. 

 Essai historique et critique sur le Nombre infini. 



— 1 vol. de v-218 /i:iijrs; /m Foyer soliJanglc. Smiil- 

 BlHiae, prés Aeuclwlol, 1009. 



La pensée mathématique conserve-t-elle un élément 

 synthétique irréductible, ou bien se réduit-elle à des 

 constantes logiques : tel est le problème philosophique 

 général que M. lieymond a en vue. Mais il a précisé ce 

 problème : c'est, en elîet, en étudiant la nature de 

 l'infini mathématique numérique que la question géné- 

 rale se trouvera résolue. Bien que l'ouvrage de M. Key- 

 mond ne constitue pas, à proprement parler, une élude 

 historique, les considérations sur l'histoire des Mallié- 

 matiques y occupent une lar^e place. Mais nous ne 

 saurions résumer, dans les limites étroites de ce compte 

 rendu, cette partie du travail de l'auteur, et nous abor- 

 derons immédiatement l'examen critique qu'il nous 

 donne des théories logiques modernes. 



M. Reymond étudie d'abord les logiques néo-criti- 

 cistes de IJenouvier et de M. Evellin, logiques qu'on 

 peut appeler aussi flnilisles. D'après ces théoi'iciens, 

 l'infini et le continu, qui sont donnés en fait, ne sau- 

 raient subsister en droit comme éléments consti- 

 tutifs de la pensée pure. M. Reymond n'accepte pas, et 

 avec raison, les thèses fmitistes d'après lesquelles, en 

 bonne logique, l'Analyse infinitésimale constituerait 

 un scandale pour la raison. La confusion qui, d'après 

 notre auteur, vicie le raisonnement de Renouvier pro- 

 vient de ce qu'il ne distingue pas le continu de l'analyse 

 pure du continu donné de l'intuition spatiale. « L'erreur 

 de M. Renouvier, c'est de confondre la question de 

 rigueur qui est propre à la continuité de l'analyse pure 

 avec celle qui caractérise la continuité de l'espace... 

 La logique néo-criticiste est donc impuissante à expli- 

 quer l'élément synthétique qui est propre aux Mathé- 

 matiques. >' 



L'auteur examine ensuite, et c'est la partie principale 

 de son ouvrage, la doctrine logistique. On sait que les 

 logisliciens prétendent opérer la réduction de la pensée 

 mathématique à des éléments purement logiques. Leur 

 thèse est-elle légitime? M. Reymond pose d'abord le 

 problème suivant : » L'appartenance des êtres numé- 

 riques à leur classe peut-elle être définie dans les 

 mêmes conditions que l'apparlenance des êtres non 

 numériques à la classe dont ils font partie? » En par- 

 ticulier, l'expres'ion « tous » a-t-elle le même sens 

 lorsqu'il s'agit d'êtres numériques et d'êtres non numé- 

 riques? S'agit-il d'êtres non numériques (le concept 

 d'homme, par exemple), les êtres, en tant que faisant 

 partie de. la classe considérée, sont tous semblables 

 entre eux, au point de vue du concept;" quant au 

 nombre des éléments, il est essentiellement indéter- 

 miné ». Lorsqu'il s'agit d'une classe de nombres, les 

 éléments, tous différents entre eux, sont liés par une 

 loi de siicecssion, ce qui n'avait pas lieu dans le cas 

 |irécédent, et «tous» im|)liqueici une virtualité numé- 

 riquement déterminée. 



Maintenant, il faut examiner si l'on peut définir 

 en fonction des constantes logiques l'ensemble des 

 nombres entiers. La définition nominale des immliies 

 entiers d'après la théorie logistique (Musse II) sii|i[ios(' les 

 définitions nominales de zéro et de un. Or, M. Itcyiiionil 

 soutientque la Logistique ne fournit pas ces déliiiilions. 

 .\dmi'ttons que la classe nulle existe et qifelle est 

 représentée par l'ensemble des valeurs de .v rendant 

 fausse la fonction propositiomicllc 'f(.\). Le zéro arilli- 



mélique pourra-t-il être défini par ce moyen? » En 

 tant que faisant partie d'une classe numérique, dit 

 notre auteur, dont tous les termes sont dissemblables, 

 la variable doit tous les parcourir pour que nous puis- 

 sions dire avec certitude : ^(.v) est toujours fausse. La 

 vérification ne pourrait être faite que si tous les termes 

 étaient donnés... Il faut donc ou bien réaliser ou tout au 

 moins définir le nombre infini, ou bien définir le prin- 

 cipe d'induction avant de tenter une définition arithmé- 

 tique du zéro. Celui ci ne saurait être considéré indépen- 

 damment des autres termes de la série... » M. Reymond 

 développe des considérations analogues pour le nombre 

 un. Mais nous ne saurions exposer complètement les 

 critiques de notre auteur; qu'il nous suffise d'indiquer 

 sa conclusion sur ce point : la théorie ordinale des 

 nombres entiers implique un indéfinissable étranger à 

 la Logistique, à savoir le principe d'induction. 



Dans un dernier chapitre, l'auteur examine la théorie 

 de l'infini mathématique et du continu, dans la doc- 

 trine logistique et dans le système de Cantur. Bornuns- 

 nous, sur ces difficiles questions, à donner quelques- 

 unes des conclusions auxquelles il aboutit. 



11 n'accepte pas, tout d'abord, la théorie de Ru.ssell 

 justifiant l'infini numérique par la « compréhension» 

 de son concept, parce que << cette justification renferme 

 l'équivoque signalée sur la portée du mot tons ». En 

 ce qui concerne les nombres tiansfinis, <c le principe de 

 formation, dit M. Reymond, qui nous a permis de créer 

 le premier cardinal transtiiii aleph, ne peut servir à 

 formuler le second, car ce principe n'est autre que la 

 loi d'induction qui s'épuise dans le premier cardinal 

 transfini... Pour définir une puissance supérieure 

 comme l'est celle du continu, il faudrait qu'un nou- 

 veau principe (une nouvelle loi de succession) inter- 

 vint...». En résumé, en revenant à la thèse principale 

 de son ouvrage, M. Reymond conclut : ce qui caiac- 

 térise l'infini mathématique, c'est une loi de succession 

 impliquant la virtualité et le devenir. "Aussi cherche- 

 rait-on en vain, dans tout le domaine de l'Analyse, une 

 entité fixe et immuable correspondant au nombre 

 infini. » 



L'auteur a placé la discussion sur le véritable terrain : 

 le terrain de la critique et de l'histoire des sciences, 

 et, bien que nous ne puissions ici aborder l'examen 

 approfondi des thèses qu'il soutient, nous indiquerons 

 cependant certains points sur lesquels nous ne serions 

 pas tout à fait d'accord avec lui, ou qui. du moins, 

 exigeraient de sa part, nous semble-t-il, de nouveaux 

 développements. 



M. Reymond présente tout d'abord une thèse (il est 

 vrai qu'il la présente comme hypothétique;, qui dépasse 

 les résultats de la science positive et que la critique ne 

 saurait, par suite, accepter. C'est celle (p. 190) d'après 

 laquelle il espère pouvoir rattacher à une loi de suc- 

 cession (?) des nombres premiers une définition du 

 continu. Observons seulement que les résultats obtenus 

 actuellement touchant la distribution des nombres 

 premiers consistent dans certaines lois asymptotiques 

 (travaux concernant la fonction Zêta de lUemann, etc.), 

 et nous ne voyons pas comment on peut espérer obte- 

 nir, en se basant sur les travaux auxquels nous faisons 

 allusion, une définition du continu. Ajoulons que la 

 di'dinilion que donne Cantor du type du continu 

 linéaire, définition dans laquelle la notion d'ensemble 

 parfait Joue un rôle essentiel, ne nous semble pas suffi- 

 samment examinée par M. lieymond. 



Insistons encore sur deux points généraux. La Logis- 

 tique et le Cantorisme nous paraissent deux doctrines 

 idinpIéli'Mipnt dill'éii'iUes ; unies en fuit chez Russell, 



