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HENRI POINCARE — SULLY PRUDHOMME MATHÉMATICIEN 



comme une limilalion de l'espace infini; c'est un 

 morceau découpé dans cet espace, et qu'on n'y 

 aurait pu découper si l'on ne supposait l'existence 

 ■ préalable de cet espace; l'indéfini est postérieur 

 encore, puisqu'une grandeur indéfinie n'est autre 

 qu'une grandeur finie croissant sans cesse de façon 

 à dépasser toutes les bornes que l'on pourrait lui 

 assigner dans l'espace infini où elle est découpéR. 



S'il y a un infiniment grand, préexistant au fini, 

 il n'y a pas, en revanche, un infiniment petit, il 

 n'y a qu'un indéfiniment petit, qui est un devenir. 

 Comme celle du devenir lui-même, cette notion 

 répugne à notre raison, mais elle lui est imposée 

 par la nécessité d'expliquer le mouvement, qui, 

 sans elle, serait incompréhensible. H est manifeste 

 que l'influence des philosophes, celle de Zenon et 

 celle de Kanl, a joué un rôle prépondérant dans la 

 genèse de celte théorie. 



L'auteur distingue ensuite les éléments de la 

 science: ce qu'il appelle les constatations initiales, 

 c'est-à-dire les axiomes; les définitions et les pro- 

 positions, c'est-à-dire les théorèmes. Ce mot de 

 constatations initiales pourrait faire croire qu'il 

 considère les axiomes comme des faits expérimen- 

 taux; mais il n'en est rien, car il ajoute immédia- 

 tement que les « attributs les plus généraux de 

 l'espace sont les conditions mêmes de la perception 

 du corps ». Son point de vue est donc celui de 

 Kant. 



Sully Prudhomme aborde ensuite l'étude propre- 

 ment dite de la Géométrie ; et, ce qu'il y a de plus 

 original, c'est le détour par lequel la notion de ligne 

 droite est introduite. Nous considérerons d'abord 

 des couples de points; et, à propos de chacun de 

 ces couples, nous envisagerons la distance des deux 

 points qui le composent. Quant à cette distance 

 elle-même, on la définit en considérant les divers 

 chemins qui vont d'un point à l'autre et en prenant 

 celui de ces chemins dont la longueur est minima. 



On peut critiquer cette façon de procéder, qui met 

 à la base de tout celle notion très complexe de la 

 longueur d'un arc de courbe. Le plus court chemin 

 d'un point à un autre est ce que Sully appelle une 

 ligne de dislance, et il ne sait pas encore, d'ailleurs, 

 si ce chemin est unique. Mais ce n'est pas ainsi qu'il 

 définit la ligne droite; il se réserve de démontrer 

 plus loin l'identité de cette ligne de distance avec 

 la ligne droite définie d'une tout autre manière. 



Grâce à celle notion de distance, nous pouvons 

 maintenant définir des séries depoints équidistants, 

 oii la distance de deux points consécutifs est tou- 

 jours la même. Parmi ces .séries, il distingue les 

 séries drohes, et pour définir ces séries droites, il 

 introduit la notion à'orienlation; celle notion lui 

 apparaît comme primordiale. 



Si l'on envisage deux couples de points dont la 



distance est la même, il lui semble qu'on peut aper- 

 cevoir immédiatement, par intuition pour ainsi dire, 

 si les deux distances égales ont même orientation, 

 et que cette orientation, tombant immédiatement 

 sous notre intuition, n'a pas besoin d'être définie. Il 

 n'aperçoit pas le postulat qui est implicitement 

 supposé par l'introduction même de ce mol. Parler 

 d'orientation, c'est supposer que, si, dans une figure, 

 nous avons deux couples de points dont l'orientation 

 est la même, ces deux couples ne cesseront pas 

 d'avoir la même orientation quand cette figure se 

 déplacera. C'est donc admettre qu'il y a des dépla- 

 cements où toutes les orientations se conservent, 

 d'où il suit aisément que tous ces déplacements 

 forment un groupe et qu'ils sont tous permutables 

 entre eux. C'est admettre, en un mot, le postulatum 

 d'Euclide. 



Sans doute, il n'y a aucun moyen d'éviter l'intro- 

 duction de ce postulai, mais il n'est pas sans incon- 

 vénient que cette introduction se fasse d'une façon 

 pour ainsi dire subreptice, à tel point que je ne suis 

 pas bien sûr que Sully Prudhomme n'ait pas eu 

 l'illusion qu'il avait démontré le postulatum 

 d'Euclide. 



Quoiqu'il en soit, l'auteur donne le nom de .se'Wc.s 

 droites à une série de points équidistants dont les 

 couples successifs ont une orientation constante, et 

 il établit d'abord pour les séries droites une suite 

 de théorèmes analogues à ceux que l'on démontra 

 d'ordinaire des lignes droites. 



Pour aller plus loin, Sully Prudhomme introduit 

 ensuite la notion de ce qu'il appelle la proximité des 

 points. « On peut, dil-il, concevoir la dislance de 

 deux points aussi petite qu'on veut, moindre que 

 toute longueur finie donnée, et difTérnnt, par consé- 

 quent, aussi peu que Ion veut du zéro d'étendue: 

 conçue dans ces conditions, la situation relative des ' 

 deux points est une proximité sans fin. Cette rela- I 

 lion des deux points n'est pas identique à une ' 



coïncidence ; elle n'est pas non plus identique ! 



à une séparation. » Les deux membres de phrase I 

 soulignés ont été ensuite effacés, et le premier rem- 

 placé par le suivant : " diminuant indéfiniment, par j 

 conséquent ». Il n'y a donc aucun doute sur sa i 

 pensée : deux points en proximité ne sont pas autre j 

 chose que ce que l'on appelle d'ordinaire deux ' 

 points infiniment voisins. La proximité n'est qu'un i 

 devenir, comme l'infiniment petit leibnitzien. i 



Cela posé, considérons une série droite, et soit ; 

 d la distance de deux points consécutifs de cette ■ 

 série ; nous pouvons en déduire une autre série | 

 droite contenant tous les points de la première et 

 où la distance de deux points consécutifs soit djn; 

 sur la série ainsi obtenue, nous pourrons opérer de 

 la même manière, et ainsi de suite. Nous serons 

 ainsi conduits à des séries droites où la distance 



