HENRI rOINCARÉ — SULLY PRUDHOMME MATHÉMATICIEN 



Gf.l 



<le deux points conséculirs décroît au delà de toute 

 limite, ou, comme dit Sully, ;\ des séries droites de 

 points en proximité. Et c'est là l'origine de la notion 

 de ligne droite. Cette façon détournée d'introduire 

 la ligne droite oblige le philosophe à démontrer 

 par un théorème spécial que l'on obtiendra la 

 même ligne droite, quelle que soit la manière dont 

 l'équidistance de la série tend vers zéro ; c'est-à- 

 dire que le résultat sera le même, que Ton passe 



d . d 

 de l'équidistance rf à rêquidistance ^> puiser,, puis 



—^< etc., ou bien que l'on passe de l'équidistance 



d d d ^ 

 (/aux équulislances -^j' ttî' ô3' etc. 



On voit aisément comment on peut définir el 

 comparer les angles de deux couples de séries 

 droites, ou de deux couples de lignes droites. 

 L'angle est pour un couple de droites ce que la 

 distance est pour un couple de points. 



Deux droites parallèles sont définies comme deux 

 droites dont l'orientation est la même. La démons- 

 tration des propriétés essentielles des parallèles se 

 l'ait aisément, puisque le postulatumd'Euclideaété 

 tacitement introduit la première fois qu'on a parlé 

 d'orientation. 



Si l'on considère deux couples de droites paral- 

 lèles, il pourra se faire que ces couples aient ou 

 n'aient pas même distance ; mais celte distance ne 

 suffit pas pour les caractériser; il faut pour cela un 

 élément de plus: c'est leur orientation. On définira 

 alors les séries de droites parallèles équidistantes, 

 comme on a défini les séries de points équidistants. 

 Parmi ces séries, on distinguera celles dont l'orien- 

 tation est constante et qu'on appellera séries planes. 

 On verra que, dans une série plane d'équidistance 

 d, on peut intercaler une série plane d'équidistance 

 djn; on sera ainsi conduit à des séries planes de 

 droites parallèles équidistantes en proximité, et 

 c'est ainsi qu'on arrivera à la définition du plan, 

 de la même façon qu'on est arrivé à celle la ligne 

 droite. 



V. 



.\rrRÉCL\TION DIÎS TUÉORIES PRECEDENTES. 



Les objections que l'on peut faire aux vues 

 philosophiques qui ont inspiré cet essai de Géo- 

 métrie sont trop évidentes pour qu'il y ait lieu 

 d'insister. Elles se présentent immédiatement à 

 nous, parce que nous connaissons l'histoire de la 

 Science, parce que nous savons que d'autres se 

 sont engagés dans des voies analogues et comment 

 ils y ont été arrêtés ; nous comparons du premier 

 coup la construction élevée par Sully Prudhomme 

 à d'autres constructions du même genre el nous 

 voyons tout de suite ainsi en quoi elles diffèrent et 



ce qui manque à l'une et à l'autre. Pour Sully 

 Prudhomme, (jui n'avait lu ni Bolyai, ni Lobat- 

 chewsky, ni Gauss, ni Lie, et qui venait avant 

 Hilbert, ces objections ne se présentaient que 

 successivement et à de longs intervalles. De là ces 

 remaniements incessants, ces corrections qui ne 

 parvenaient pas à le satisfaire, ces doutes sans 

 cesse renaissants qui Font empêché de publier son 

 œuvre. 



Ses papiers contiennent une enveloppe blanche 

 où se trouve sa correspondance avec divers savants 

 (entre autres M. Lippmann) qu'il avait consultés 

 au sujet de son travail. Cette correspondance est de 

 nature à nous éclairer sur la marche de sa pensée. 

 J'y trouve deux projets de lettres qu'il voulait 

 adresser à l'un de ses correspondants, sans doute 

 M. Lippmann. L'un de ces brouillons est daté du 

 31 mai 1884, l'autre du 2 juin de la même année; 

 le premier, au moins, n'a pas dû être envoyé au 

 destinataire. C'est une réponse à une des premières 

 objections qu'on devait lui faire et que j'ai signalée 

 plus haut. Au début de ses raisonnements se trouve 

 la définition delà distance, qui est définie comme 

 la longueur du plus court chemin entre deux points, 

 ce qui oblige à mesurer la longueur d'une ligne 

 courbe. A vrai dire, il n'avait besoin que de définir 

 l'égalité de deux distances, et il aurait pu le faire 

 en disant que les distances AB et A'B' sont égales 

 lorsque l'on peut déplacer la figure dont fait partie 

 AB de façon que A vienne en A' et B en B'. Mais il 

 ne s'en est pas avisé, je ne sais pour quelle raison. 

 Citons cependant quelques passages de ce projet 

 de lettre : 



« Je jouis de mon reste; c'est demain que je vais 

 m'alteler à la versification pour travailler à un 

 poème de longue haleine que j'ai commencé l'année 

 dernière ici même... Quand je parle de relation 

 entre deux points au début même de la Géométrie, 

 j'entends dire seulement que la continuité même 

 de l'espace où je les considère les met en rapport, 

 en ce sens qu'on peut les concevoir comme appar- 

 tenant à une même donnée géométrique quel- 

 conque. On conçoit, par exemple, que, parmi toutes 

 les longueurs qui les peuvent joindre, il y en ait 

 une minima, que j'appelle leur distance, et cette 

 distance est une relation entre eux. Vous m'objec- 

 terez peut-être que les longueurs, indépendamment 

 de la figure des lignes, ne sont pas comparables, 

 que, ne pouvant dès lors les mesurer, je n'ai pas le 

 droit d'en supposer une minima entre deux points. 

 Je répondrai que je n'ai pas besoin de déterminer 

 numériquement la différence de deux longueurs 

 pour pouvoir affirmer qu'il peut y en avoir une 

 plus grande que l'autre. 



« La mesure exprime numériquement la diffé- 

 rence, mais celte expression numérique ne m'est 



