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BIBLIOGRAPHIE 



ANALYSES ET INDEX 



1 " Sciences mathématiques 



Hoiisel (K.). l'rofesscnv de Mullu'inntiqiies l'i FUni- 

 versité ilc Marburg. — Théorie der Algebraischen. 



Zahlen. ; Théorie des Nombres Ai.GÉiiniyLEs). Tome I. 



— 1 vol.' in-S° de xi-349 pages. {Prix : 10 l'r. T.\.) 

 Teuhner, éditeur. Leipzig. 



l,'ouviai;e de M. Bachmann nous tlonnait, il y a 

 i|uelque temps', l'occasion de pailer, dans la Hcvtie, de 

 la théorie des corps, et d'exprimer noire regret de 

 voir nos compatriotes ienorer, ou à peu près, cette 

 généralisation si féconde de l'Aritlnnétique ordinaire. 



Or, voici qu'à cette généralisation, M. Hensel en 

 superpose une autre singulièrement plus hardie. 



Dans le livre, fruit d'un travail de dix-huit années, 

 dont nous analysons aujourd'hui le premier volume, il 

 lonsidère, il est vrai, les nombres rationnels, les nombres 

 algébriques et les idéaux ordinaires. Mais il parle sur- 

 tout d'êtres d'une nature toute nouvelle, dépassant 

 les idéaux de Ivummei comme ceux-ci dépassent les 

 nombres de l'Arithmétique élémentaire. 



Son point de départ est l'analogie qui existe, à bien 

 des points de vue, entre la théorie des nombres algé- 

 liriques et celle des fonctionsalgébriques, analogie doni 

 l'importance et la fécondité ne sont plus à démontrer. 



Or, la théorie des fonctions dispose d'un instrument 

 |iuissant que la théorie des nombres n'avait pas su 

 utiliser Jusqu'ici : le développement en série. 



L'Arithmétique offre, il est vrai, un exemple analogue 

 aux séries de Maclaurin : c'est le développement en 

 fraction décimale, que l'on peut considérer comme 

 ordonné suivant les puissam'es de 1/10, ou le dévelop- 

 îjiement analogue ordonné suivant les puissances de 

 l'i'nt'ersed'un nombre entier// quelconque pris comme 

 base du système de numération. Mais ce n'est pas 

 ainsi que M. Hensel l'entend : il s'adressera à des déve- 

 loppements ordonnés suivant les puissances croissmitcs 

 de l'entier p lui-wêwo (lequel sera, en outre, supposé 

 premier). 



Point de difllculté à cela s'il s'agit d'un entier positif 

 iirdinaire A ; il y a une infinité de manières de le mettre 

 sous forme d'un polynôme en // à coefficients entiers : 

 une entre autres qui peut être considérée comme carac- 

 l(>ristique i M. Hensel la nomme développement réduit), 

 celle qu'on obtient en écrivant A dans un système de 

 numération à base// : chaque coefficient du polynôme 

 possède alors l'une de« valeurs 0,1,... (p — \]. 



Mais les nombres qualifiés onlinairenient d'entiers 

 ne sont pas les seuls qui, dans les calculs actuels, soient 

 Iraités de cette façon Sont dits entiers suiviint le mo- 

 dule p, et mis tout à fait sur le même pied que les 

 entiers ordinaires, lousies nombres fractionnaires dont 

 les dénominateurs ne contiennent pas // en facteur'. 

 On peut, en eflet, étendre aisément entre de tels nombres 

 (ou entre eux et les entiers ordinaires) la théorie des 

 rongruences de module //. 



Or, les calculs précédents, appliqués à ces entiers 

 (mod. //) ou même à des entiei's (ordinaires) négatifs, 

 conduisent à des développements indéliuis. 



M. Hensel n'hésite pas à introduire de pareils déve- 

 loppements indéfinis, qu'il nomme p-adisclie Zahlen. 

 Il ne peut, bien entendu, être question de convergence 

 pour de pareilles séries dont tous les termes sont entiers ; 



' Bevne qon. rfe.f Se, tome XVIII (1907), p. 166. 



' Autrement dit, les nombres premiers avec p joueiil. 

 dans CHtte théorie, le rôle iVuailPs (au sens que ce mot .i 

 classiquement d.ans la théorie générale des nombres algc- 

 liriques). 



par conséquent, ces " Nombres-à-base-p» sont des êtres 

 de raison entièrement distincts, en général, des nombres 

 ordinaires'. 



^e peut-on, cependant, former des Nombres-à-base-/j 

 qui soient des séries convergentes'? tkda est possible : 

 il suffit de prendre comme coefficients des puissances 

 successives de p, non plus des entiers ordinaires, mais 

 des entiers (mod. p), — au sens défini tout à l'heure 

 — lesquels pourront être pris aussi petits que l'on 

 voudra. S'il en est ainsi — comme, d'une manière 

 générale, si le développement n'est pas assujetti à être 

 « réduit '1, — deux développements différents pourront 

 représenter le même Membre; mais on sait définir 

 d'une manière précise (et vérifier par un nombre fini 

 d'essais en ce qui regarde les A- premiers termes, k 

 étant un nombre déterminé aussi grand qu'on veut) 

 les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'il en 

 soit ainsi : elles se réduisent à exprimer que la diffé- 

 rence entre les deux Nombres en question est divisible 

 par p'-' — ce que M. Hen-ol exprime en disant qu'elle 

 est d'ordre A — et cela pour toutes les valeurs succes- 

 sives de k. 



Maison arrive aussi à. une autre constatation, décou- 

 rageante au premier abord : c'est qu'un de ces déve- 

 loppements convergents peut représenter, au sens 

 classique, n'importe quel nombre orJinaire donné, le 

 même développement représentant au sens nouveaic 

 n'importe quel IN'ombre également donné. 



Par contre, il est loisible de ne considérer, par eon- 

 veiition, (jue les développements convergents qui ont 

 le même sens dans les deux cas; et c'est précisément 

 cette convention que fait M. Hensel. 



Tout ceci ne regarde que les nombres rationnels. 

 Pour passer au cas des nombres algébriques, il faut 

 introduire non seulement la notion, maintenant clas- 

 sique, d'entier algébrique, — que l'auteur rappelle, car 

 il entend n'exiger du lecteur que les connaissances 

 élémentaires, — mais aussi celle d'entier algébrique 

 (mod. /)) : on appellera ainsi tout nombre algébrique 

 racine d'une équation ayant pour premier coefficient 

 l'unité, les autres étant des entiers (mod. p), au sens 

 précédemment défini. 



Moyennant cette notion et l'usage des systèmes fon- 

 damentaux (tels qu'on les emploie liahituellement dans 

 la théorie des corps), on peut ordonner les nombres 

 algébriques en séiies ordonnées suivant les puissances 

 de"/>, « dans le domaine de p », c'est-à-dire au sens 

 congruentiel analogue à celui i|ui a été défini pour les 

 nombres rationnels. On peut d'ailleurs former de tels 

 développements en séries sans passer p:ii' l'intermé- 

 diaire des systèmes fondamentaux si, en remplaçant 

 l'équation qui définit le corps considéré par la coii- 

 gruence correspondante suivant le module //, cette con- 

 gruence admet une racine (simple) entière. 



Un exemple remarquable de cette circonstance 

 s'offre immédiatement avec l'équation binôme de 

 degré p— 1 : d'après le théorème de Fermât, en effet, la 

 congruence dont nous venons de parler admet pour 

 raciiu's li'sp — 1 premiers nombres entiers. Nous obtien- 

 drons donc p — \ Nombres-à-base p : ô>,, ^k,-.- Mp-i. 

 qui représentent, « dans le domaine de p », des 

 racines de l'équation. Mais cette même équation admet, 

 au sens vulgaire du mot, /; — 1 lacines tu,, w^..., Mj, — ;. 

 Quel rapport y a-t-il entre ces vraies racines, qui sont 

 des nombres ordinaires, et celles que la théorie précé- 

 denfe vient de nous conduire à imaginer? 



' Nous écrirons « Nombres 

 inpiiM' cotte distinction. 



majuscule pour 



