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Der umgekehrte Satz dieses letzteren findet, wie sich von selb« 

 versteht, ganz allgemein Statt. Für die Zahlen 3, 5 und 7 fin- 

 den die gemachten Voraussetzungen wirklich Statt, wie ich streng 

 bewiesen habe. Es ist auch nach meinen bisherigen Arbeiten in 

 dieser Sache höchst wahrscheinlich, dafs sie, wenn nicht für alle 

 Primzahlen, so doch für eine unendliche Anzahl derselben gelten. 

 Ich bev/eise zuerst, dafs die Gleichung iv^ — j^ =: z^ nicht 

 bestehen kann, ohne dafs eine der drei Zahlen x, j, z durch ?. 

 theilbar ist. Angenommen, es wäre keine dieser drei Zahlen 

 durch X theilbar, so würde die Gleichung a-' — j' = «'' folgende 

 nach sich ziehen: 



X — «V = E{a'')f{a-'f 



denn die Factoren von x^ — j^, nämlich x — j, x — «j, x — «^/ 

 etc. haben keinen gemeinschaftlichen Theller. Ich mache aus die- 

 ser Gleichung eine Congruenz für den Modul X, wobei ich be- 

 merke, dafs /(«") eine wirkliche complcxe Zahl ist, also nach 

 der Voraussetzung (^.) auch /(«") wirklich, und darum /(«") =r, 

 mod. X, wo c eine ganze reale Zahl bedeutet. Man erhält so die 

 Congruenz x — «"j = -£(«"). c, mod. /., und wenn « := -f. 1 

 und n = — 1 gesetzt wird, 



x — «/ = E(ci).c, X — ar^j^EE E{c(~^)c^ mod. X. 

 Es ist aber nach einer bekannten Eigenschaft der Einheiten 

 E{c(-^) = a'-E{a) 



darum erhält man durch Elimination von E(a) und E{ct~*) die 

 Congruenz 



x{a' — 1) -H j{«-' — «' + 1) = 0, mod. X. 



Da nun nach der Annahme keine der drei Zahlen a;, /, z durch 

 X theilbar sein soll, so kann diese Congruenz (mit Ausnahme des 

 besonderen Falles wo X = 3) nicht anders befriedigt werden, 

 als wenn r = — 1 genommen wird, wodurch man erhält 



a; -f- j = 0, mod. X. 



Setzt man die ursprüngliche Gleichung in die Form j-'^—z^St/*' 

 und behandelt ebenso die Factoren von x^ — z^^ so erhält man 

 ganz auf dieselbe Weise 



X -t- -2 = 0, mod. X, 



