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und diese beiden Congruenzen, verbunden mit der Gleichung 

 x^=z^-i-f'-, oder mit der aus ihr unmittelbar folgenden Con- 

 gruenz x = z -t- j-, mod. X, geben 3;r = 0, 3 j = 0, 3« = 0, 

 mod. >., welches zeigt, dafs die gemachte Annahme eine sich 

 selbst widersprechende ist, dafs also eine dieser drei Zahlen 

 wirklich durch A theilbar sein mufs. 



Nachdem so dieser Nebenfall abgemacht Ist, gehe ich zum 

 Beweise des Hauptfalles über. Anstatt nun hier die Gleichung 

 x^ — j^ ^ z^' zu nehmen, in welcher ^ durch ?. theilbar sein soll, 

 nehme ich die allgemeinere Gleichung 



u' — i'^= ^(«)(i-«r^-'^N (1) 



in welcher u, v, w comp 1 exe Zahlen sind, ohne gemeinschaft- 

 lichen Factor, und E(cc) eine complexe Einheit. Ich unterwerfe 

 jedoch die beiden complexen Zahlen u und c der einschränken- 

 den Bedingung, dafs sie folgende Form haben sollen: 



w = c-f- (1— «y"-"'-^'.^, i; = c-i-(i— «)"»-'>'•+•. v//, (2) 



wo c eine reale ganze Zahl ist, ^ und 4/ beliebige complexe 

 Zahlen. Aufserdem setze ich noch fest, dafs w> i sein soll. 

 Die Factoren des u^ — v^', nämlich u — v, u — «c^, u — a'^v^ 

 etc. haben nun alle den gemeinschaftlichen Factor 1 — «, für 

 welchen auch 1 — ct^, 1 — «', etc. genommen werden kann, 

 aufser diesem aber haben sie keinen, weil sonst u und o densel- 

 ben haben müfsten. Nach Absonderung der Factoren 1 — « müs- 

 sen diese also selbst X'" Potenzen sein, mit irgend welchen Ein- 

 heiten multipliclrt. Es ist darum 



„ _ c = t- («) (I - «)*"■"' ' ^"^ ' • '"/ (3) 



,/ — n'-v = er(ct) (l — «'■) f^, (4) 



WO e(«), er((() Einheiten sind, w,, /, complexe Zahlen, ohne 

 einen gemeinschaftlichen Factor, und zwar wirkliche nach 

 der Voraussetzung (/4). Werden für u und f ihre Werthe aus 

 (2) entnommen und in (4) substituirt, so erhält man 



c ■+. (i-«)<"— > \ Qz~^ (c^-«'-4^) = ^.(«)/,\ (5) 



Ich mache hieraus eine Congruenz mod. >., und bemerke, dafs 



(1 — ny~\ also um so mehr (1 — «)'"■"*> *■ (da m >. l ist), durch 



/. theilbar ist. Es wird daher 



c = er(c()er , mod. X, 



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