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Ich setze nun u, in die Form u, ^ a -\- (1 — «) ö (wo a real 

 um! 6 complex ist), welche jede complexe Zahl annehmen kann, 

 hierdurch wird nach dem binomischen Lehrsatze: 



und wenn man bedenkt, dafs die Binomial-Coefficienten den 

 Factor >. enthalten, welcher selbst durch (l — «)'"' theilbar ist, 

 so hat man sogleich 



t// = a\ mod. (1 - «)\ (10) 



Diese Congruenz verbunden mit (9) giebt 



c = a'', mod. (l —a-Y, 

 oder was dasselbe Ist: 



c ^:. a \, mod. /. (1 — a), oder — = 0. mod. (l — a). 



Die reale ganze Zahl kann aber nicht durch 1 — et theilbar sein 

 ohne durch X theilbar zu sein, darum ist — - — durch }. theilbar, 

 oder c = a'', mod. >.^. 



Wenn nun c die Eigenschaft hat, einer ?.•*" Potenz congruent 

 zu sein für den Modul Ä^, so ist es auch, wenn eine beliebig 

 hohe Potenz von >., z. B. X**, als Modul genommen wird, einer 

 X"» Potenz congruent, darum hat man c = c/ mod. ?.", für jeden 

 "Werth des /-i, also auch 



c = o\ mod. (1 — *)<"■-* )\ 



Die Congruenz (9) verwandelt sich daher in folgende 



m/— c/ = 0, mod. (1 — «)*■"-• >\ 



Von den Factoren des u/ — c/ (nämlich w, — c, au, — c,, oi.^u, — c, 

 etc.) mufs nun wieder jeder den Factor l — a einmal enthalten, 

 einer aber mufs ihn (rn — 1) X — X + 1 mal enthalten, und weil 

 u, insofern unbestimmt ist, dafs man dafür auch «"u, setzen kann, 

 so kann man als diesen Factor offenbar den ersten u, — c, wäh- 

 len. Man hat also «, — o = mod. (l — «)''"~^' *'"^', oder 



u, = c,-h{l-*y"-^^^-*-'.(p,. (H) 



Dasselbe gilt nun offenbar auch Cur v,, so dafs ebenso 



^, = -f. (!-*)""-«>' + '. ^//,. (12) 



