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Es bleiben also auch diese beiden Bedingungen für die neue 

 Gleichung (8) erfüllt. Man kann darum ebenso aus dieser wie- 

 der eine neue Gleichung derselben Form, mit den entsprechen- 

 den beiden Bedingungen ableiten und so fort, bis man endlich, 

 weil bei jeder solchen Operation m um eine Einheit abnimmt, 

 dahin gelangt, dafs m = 1 ist, wo diese Operation nicht welter 

 fortgesetzt werden kann. Es bleibt also folgende Gleichung 

 übrig, auf deren Erfüllung die Gleichung (1) immer beruht: 



(13) m'- — c^^ = £(*)(! — *)\«'\ 



Die Unmöglichkeit dieser Gleichung läfst sich aber sehr einfach 

 dadurch darthun, dafs gezeigt wird: dafs die Form u^ — p^, 

 wenn sie überhaupt den Factor 1 — a, enthält, densel- 

 ben immer wenigstens X-^-1 mal enthalten mufs. Ich 

 beweise diefs auf folgende Weise: Zunächst nuifs jeder d?r X 

 Factoren u — v, u — ac, u — a.'^v den Factor 1 — « überhaupt 

 enthalten, also namentlich auch u — v. Entwickelt man nun die 

 complexen Zahlen u und p nach Potenzen von 1 — «, wobei nur 

 die ersten beiden Glieder In Betracht kommen, so erhält man 



M = a-j-Ä(l_Ä)-4-(l — a,)^(^, f = flr-t-c(l— a,)-+-(l — «)"%//, 



ferner wird af = (x — (i — a.)y =1 — r (l — a) -j- (l — ''■Y- f-, also 



u — a.'\> = (6 — c -1- ar) (1 — «.) -H (l — a) ^ f 



für alle Werthe /-ssO, 1,2....X — l. Für einen dieser Werthe 

 ist aber offenbar auch b — t-f-arSO mod. ?., also b — c -\- ar 

 durch 1 — Ä thellbar, also u — o.''v durch (l — a)'^ thellbar. Da 

 nun die übrigen X — 1 Factoren jeder einmal den Factor 1 — * 

 enthalten, so folgt, dafs w' — v^ diesen Factor stets wenigstens 

 X -f- 1 mal enthält, oder dafs es durch (i — a)' + ' thellbar sein 

 mufs. Die Gleichung (13) (In welcher w keinen Factor 1 — a 

 enthält) ist also unmöglich und darum ist auch die Gleichung 

 (1) mit ihren beiden Bedingungen (2) unmöglich zu befriedigen. 

 Die Gleichung x^ — y^ =i z^ ^ wo z durch X thellbar, Ist in 

 der Gleichung (1) enthalten, auch finden für dieselbe die beiden 

 Bedingungen (2) mit Statt, darum Ist die Gleichung x^ — j*^=z^ 

 überhaupt unmöglich für alle die Primzahlen X, welche den oben 

 aufgestellten Voraussetzungen {A^ und (5.) genügen. 



