140 



dieses Ausdrucks bietet keine andere Schwierigkeit dar, als die 

 einer mit wachsendem X rasch an Complication zunehmenden 

 numerischen Rechnung. Ist dieser Ausdruck, der -^^— zu unbe- 

 stimmten Potenzen erhobene Fundamentaleinheiten entliält, be- 

 kannt, so läfst sich ohne grofse Mühe bald entscheiden, ob die 

 in der Voraussetzung {B) ausgesprochene Bedingung erfüllt ist, 

 d. h. ob der Ausdruck nur dann nach dem Modul X einer reel- 

 len Zahl congruent werden kann, wenn alle Exponenten durch 

 >. aufgehen. 



Die Voraussetzung {A) bezieht sich auf eine Theorie, wel- 

 che mit der der quadratischen Formen die gröfste Analogie hat. 

 Wie nämlich nicht jede Zahl m, für welche die Congruenz 

 ^^^i>(mod. w) möglich ist, immer in der Form x'^ — Dy^ 

 enthalten ist, sondern im Allgemeinen eine beschränkte Anzahl 

 wesentlich verschiedener quadratischer Formen existirt, durch 

 welche sämmtliche Zahlen m dargestellt werden können, so fin- 

 den ähnliche Beziehungen zwischen höheren Congruenzen und 

 ihnen entsprechenden höheren Formen Statt. Betrachtet man 

 z. B. die Congruenz ^-~ | = (mod. w), hinsichtlich welcher 

 schon Euler die Moduln m, für welche sie möglich ist, voll- 

 ständig bestimmt hat, so sind auch diese Zahlen m nicht immer 



von derForm (/)(a.) (/7(*^) i^(a'~'), wo (^(a) = iCg -f- aa;, 



-i- 0,^X2 -I-.- •• -(- 1*'""^ •»"x_2 , und Xq, .*-,.... xx_ 2 unbestimmte 

 ganze Zahlen bezeichnen, aber es existiren immer Formen in 

 endlicher Anzahl, welche wie die vorige in lineare Factoren 

 zerlegt werden können, und mit dieser vereinigt alle Zah- 

 len m ausdrücken, für welche die Eulerschc Congruenz auf- 

 lösbar ist. Nachdem die Darstellbarkelt aller Einheiten durch 

 ^^ Fundamentaleinheiten erkannt worden war, was hier das 

 Analogon von der allgemeinen Lösung der Fermatschen Gleichung. 

 x^ — Dj^ = l Ist, lag der Versuch nahe, die Analogie zwischen 

 den quadratischen und diesen höheren Formen welter zu verfol- 

 gen und namentlich die Anzahl der letztern durch ähnliche Mit- 

 tel zu bestimmen, durch welche dieselbe Frage In der Theorie 

 der quadratischen Formen früher erledigt worden war. Diese 

 Untersuchung, auf welche sich Hr. Kummer Im Eingänge sei- 

 ner Mittheilung bezieht, Ist denn auch vor etwa drei Jahren mit 

 Hülfe eines neuen Princlps, dessen es bei der Ermittelung der 



