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Im ersten Falle (a) durchläuft der Lichtstrahl die Seiten 

 eines geschlossenen Vielecks iV, etwa von n Seiten und u Um- 

 läufen, welches dem Kegelschnitte Kein- und zugleich dem Ke- 

 gelschnitte Kl umgeschrieben ist; und der Lichtstrahl kehrt unter 

 gleichem Winkel « nach dem Anfangspunkt ^4 zurück, wie er 

 von da ausgegangen ist, so dafs er bei fortgesetzter Bewegung 

 das nändiche n Eck N wiederholt beschreibt. Und in diesem 

 Falle beschreibt dann ferner auch jener genannte zweite Licht- 

 strahl, der von einem beliebigen andern Anfangspunkte ^4, aus- 

 geht, allemal ebenfalls ein geschlossenes, mit dem vorigen gleich- 

 namiges, Vieleck N,, d. h. von gleicher Seitenzahl n und gleicher 

 Umlaufszahl u. 



Ist der erste Kegelschnitt K eine Ellipse und soll das Po- 

 lygon N convex sein, so ist auch der zweite Kegelschnitt K, eine 

 Ellipse, und alsdann haben die verschiedenen n Ecke iV, iV, , . . . 

 die oben genannte Eigenschaft, dals sie unter allen der Ellipse K 

 eingeschriebenen oder der Ellipse Ä", umgeschriebenen gleich- 

 namigen Vielecken beziehllch den gröfsten oder kleinsten Um- 

 fang haben, und dafs sie unter sich gleichen Umfang haben. 



Der Leitstrahl aus einem Brennpunkt der Ellipse K nach 

 jeder Ecke des n Ecks N (oderiV,, . . .) theilt den zugehörigen 

 Polygonwinkel in irgend zwei Thelle x und j: wird die Summe 

 der Cosinusse aller dieser Wlnkeltheile x, j mit der halben gro- 

 fsen Axe der Ellipse ä' multipllzlrt, so erhält man den Umfang 

 U des n Ecks N; oder In Zeichen 



U = a .X (cosx ■+■ cos/) =: 2a .1 [cos -^{x -H/) . COS 4-(^" — j)]. 



Einigen, vom Verf. schon früher publlcirten, Sätzen werden 

 folgende Sätze zur Seite gestellt: 



„Unter allen einem gegebenen n Eck N umgeschriebenen n 

 Ecken kann der Umfang nur bei demjenigen iV, ein Minimum 

 sein , welches die Eigenschaft hat , dafs in Betracht jeder Seite 

 desselben das aus der in ihr liegenden Ecke des n Ecks N auf 

 sie errichtete Perpendikel mit den beiden Strahlen, welche die an 

 dieser Seite liegenden Aufsenwinkel des n Ecks Nf hälften , in 

 einem Punkte zusammentrifft. 



„Unter allen einem gegebenen Curven- Polygon P, oder einer 

 einzelnen gegebenen Curve P umgeschriebenen geradlinigen Poly- 



