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Quadrate sein mufs. Die Aufgabe kommt dann darauf zurück, 

 eine gegebene ungerade Zahl iV=2a-|-l, welche die Summe 

 zweier Quadrate ist, in zwei andere Quadrate zu zerfallen, de- 

 ren jedes gröfser als a ist. Sind t"^ und u^ solche Quadrate, 

 so werden t^^a^ u^ — a die beiden gesuchten Stücke der Ein- 

 heit. Es ist hier nur von rationalen, nicht von ganzen Qua- 

 draten die Rede. 



Die nähere Bestimmung der gegebenen Gröfsen, welche 

 nöthig ist, damit die Aufgabe möglich werde, nannten die Grie- 

 chen htooiTi^og oder auch noo7hto^iTij.og. Diese Diorlsmen beste- 

 hen in der Regel in Bestimmung der Gränzen, in welchen die ge- 

 gebenen Gröfsen enthalten sein müssen, damit bei geometrischen 

 Aufgaben die zu construirende Gröfse reell bleibt, oder bei arith- 

 metischen Aufgaben die Werthe der gesuchten Zahlen positiv wer- 

 den. Damit bei den arithmetischen Aufgaben die Lösungen ra- 

 tional werden oder die Aufgabe überhaupt gestellt werden kann, 

 sind auch bisweilen, wie hier, Diorlsmen nöthig, welche sich 

 blofs auf die Form der gegebenen Zahlen beziehen. 



Proclus nennt Leon, der nach HIppokrates Elemente ge- 

 schrieben, die sich durch gröfseren Reichthum des Stoffs und 

 sorgfältigere Beweise auszeichneten, als den Erfinder des ^lo- 

 pi/Tixo?^ wann das gesuchte Problem möglich und wann 

 es unmöglich ist. (ouTrs tov Asoi/t« . . . y.cti hiooiT{j.ov svosii'. 



Es hätte bei der vorgelegten Aufgabe hingereicht, wenn Dio- 

 phantus als Diorlsmus der gegebenen Zahl bemerkt hätte, dafs 

 ihr um eins vermehrtes Doppeltes die Summe zweier 

 Quadrate sein mufs. DIophantus spricht aber diese Bedin- 

 gung nicht ausdrücklich aus; er setzt sie bei seiner Auflösung 

 voraus, und sogar dafs man eine Zerfällung in zwei Quadrate 

 wirklich kenne. Dagegen giebt DIophantus als Diorlsmus eine 

 Eigenschaft an, welche eine Zahl, die die Summe zweier Qua- 

 drate ist, besitzen mufs. Anderes als solche Eigenschaft sagt 

 der Diorlsmus des DIophantus nicht aus; anderes braucht DIo- 



*) Dieser Leon war nach Proclus etwas älter als Eudoxus und ein Schüler 

 des Leodamas, der ein Zeitgenosse des Archytas und Theaetetos war, und 

 demPlato seine Methode der geometrischen Analysis überliefert haben soll. 



