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phantus nicht bewiesen zu haben, um dem Vorwurfe zu entge- 

 hen, etwas nur durch Induction gefundenes mit ßestimmthelt 

 auszusprechen. Er mag sich durch Induction überzeugt gehabt 

 haben, dals diese Eigenschaft die Zahlen, welche die Summe 

 zweier Quadrate sind, vollständig definirt, so dafs jede Zahl, 

 welche die angegebene Eigenschaft hat, auch immer die Summe 

 zweier Quadrate ist, aber er hütet sich wohl, diese Umkehrung 

 auszusprechen. So giebt er in der 14ten Aufgabe des oten Bu- 

 ches von einer Zahl, welche die Summe dreier Quadrate sein 

 soll, den DIorismus, dafs sie nicht die Form Sn-i-7 haben dürfe, 

 was er leicht beweisen konnte; aber wir finden nicht bei ihm 

 ausgesprochen, dafs umgekehrt jede ungerade Zabl, welche nicht 

 diese Form bat, oder jede gerade nicht durch 4 theilbare Zahl 

 auch wirklich Immer die Summe dreier Quadrate ist, was er 

 wohl ebenfalls durch Induction finden konnte, was aber zu be- 

 weisen aufser seiner Macht lag. 



Eine elementare Betrachtung zeigt, dafs jede ganze un- 

 gerade Zahl 2<7-f-l, welche die Summe der Quadrate zweier 

 rationalen Zahlen ist, die Form 4n-f-l hat. Es darf also a 

 nicht ungerade sein, weil sonst Za-hi die Form An — i erhält. 

 Aber nicht umgekehrt Ist jede ganze Zahl von der Form 4n-t-l 

 auch die Summe der Quadrate zweier rationalen Zahlen. Es 

 kommt daher darauf an, noch andere Eigenschaften dieser 

 Summen zu entdecken. Zahlen, die sich nur durch einen qua- 

 dratischen Factor unterscheiden, werden immer gleichzeitig die 

 Summe der Quadrate zweier rationalen Zahlen sein können oder 

 nicht sein können. Es ist daher hinreichend, solche ganze Zah- 

 len zu betrachten, welche durch kein Quadrat thellbar sind. 

 Diese Zahlen dürfen, wenn sie die Summe zweier 

 Quadrate sein sollen, weder selbst, noch darfeiner 

 ihrer Factoren die Form 4/i — 1 haben. In diesem wich- 

 tigen arithmetischen Satze besteht der Diorismus des Diophantus, 

 wie er sich durch eine unbedeutende Änderung aus dem jetzigen 

 Texte erglebl. Ehe ich jedoch diese Änderung selbst mittheile, 

 mufs ich den mathematischen Sprachgebrauch der Präposition 

 Ttcc^u bei Diophantus näher erläutern. 



Es ist sehr bekannt, dafs die Präposition ttcc^cc von der D i- 

 vlslon gebraucht wird. Einen Baum an eine Seile anlegen» 



