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wo man die Worte iv hoyw y.ctt vTrs^oyJi In einen Begriff zu- 

 sammenfassen mufs. Dafs .«s'jjo? Factor bedeutet, sagt Euclides 

 in der 3ten Definition des 7ten Buches: 



ixsoog iTTtv ccsiB'tJt.og ceat3'ix2 iXccTT'jiv t2 fxsl^ovog, otcw 

 xnrußSTßY) Tov ßst^ova, 

 qnd braucht es in diesem Sinne an vielen Stellen seiner arith- 

 metischen Bücher. 



Diophantus hat keinen Beweis seines Diorismus gegeben, 

 wie er dies auch bei andern Diorismen nicht thut. Es scheint 

 mir aber bei näherer Untersuchung keinem Zweifel unterworfen, 

 dafs er einen Beweis gehabt habe, indem alles, was zu einem 

 solchen erfordert wird, in den Mitteln der griechischen Mathe- 

 matik liegt, und in dem Geiste ihrer Methoden ist. Um dies zu 

 zeigen, wird es nöthig sein, den Beweis selbst darzulegen. 



Der erste Theil des Diorismus enthält den Satz, 



I. Jede ganze ungerade Zahl, welche die Summe der Qua- 

 drate zweier rationalen Zahlen ist, hat die Form 4n-t-l. 



Der Beweis dieses Satzes beruht auf den elementarsten und 

 den Griechen geläufigen Betrachtungen. So wufste Diophantus, dafs 

 die Quadrate der ungeraden Zahlen die Form S«-|-l haben, wie 

 sich aus seinem oben angeführten Satze ergiebt, dafs die Summe 

 dreier Quadrate nicht die Form Sn-i-7 haben kann. Theon 

 Smyrnacus und Jamblichus bemerken, dafs die weder durch 3 

 noch 4 theilbaren Quadrate die Form \2n -\- 1 haben. Auf die- 

 sen ersten Theil des Diorismus scheint sich Diophantus still- 

 schweigend In der 15ten Aufgabe des 6ten Buches zu beziehen, 

 wo eine vorläufig nach Willkühr gemachte Annahme über die 

 gesuchten Zahlen zu der Forderung führt, den Ausdruck 



15x^—36 

 zu einem Quadrat machen zu sollen. Dies Ist unmöglich, 

 sagt er, weil 15 nicht in zwei Quadrate gethellt wer- 

 den kann. Soll nämlich 15 x-^ — 36 ein Quadrat sein, so mufs 



15 die Summe von — ^ und einem Quadrat, also die Summe der 



Quadrate zweier rationalen Zahlen sein, was nach dem Satz I un- 

 möglich Ist, well 15 die Form An — 1 hat. 



Ich glaube aber auch, dafs man ohne Bedenken annehmen 

 kann, dafs Diophantus den Beweis des folgenden Satzes gekannt 



