272 



hat, welcher den Haupttheil des aufgestellten Diorismus In sich 

 begreift : 



II. fVenn eine gegebene ganze ungerade Zahl die Summe 

 der Quadrate zweier ganzen Zahlen b und c ist, welche 

 keinen gemeinschaftlichen Theiler von der Form 4n— 1 

 haben, so hat jeder Factor p der gegebenen Zahl die 

 Form 4«-f-l. 

 Dafs das Product zweier Summen zweier Quadrate wieder 

 die Summe zweier Quadrate ist, war ein dem Diophantus sehr 

 geläufiger Satz, von welchem er häufige Anwendungen macht« 

 Auch weifs er, dafs das Product von zwei solchen Factoren auf 

 2 Arten, das Product dreier solcher Factoren auf 4 Arten die 

 Summe zweier Quadrate wird. Denn um in einer seiner Auf- 

 gaben eine Zahl zu finden, welche auf 4 verschiedene Arten die 

 Summe zweier Quadrate ist, bildet er sie durch Multlplication 

 von drei verschiedenen Zahlen, von denen jede die Summe 

 zweier Quadrate ist. Aufser dieser Kenntnifs, dafs das Product von 

 Zahlen von der Form ^^-^B" wieder diese Form hat, sind 

 zum Beweise des Satzes II nur die folgenden Betrachtungen er- 

 forderlich, welche anderen, wie wir sie bei Diophantus und Eu- 

 clides finden, nicht unähnlich sind. Die im Folgenden ge- 

 brauchten Buchstaben sollen immer ganze positive Zahlen be- 

 deuten. 



Es sei p ein Theiler von b^ + c^^ /?° der Quotient, so dafs 

 p°p=b''~hc^. 



Es seien ip und kp die Vielfachen von />, welche den Zah- 

 len b und c möglichst nahe kommen, und 



±Ä,=Ä — ip, ±Ci=zc — kp, 

 so werden 6, und c^ kleiner als ^p oder höchstens =^p. 

 Substituirt man diese Werthe von b^ und c,, so erhält man 



b]-{-c\=p{p°^2(ib-^kc)-hp(i^+k^)\ 

 =p{p^-2{±ib,±kc,)-p{i^-i-k^)]. 



Setzt man daher 



p^ =;,<'-2 {ib-i.kc)+p(i^+k^) 

 = p'>-2(±ib, ±kc,)^p(i^-hk<'), 

 = p° — i(b±ib,) — k(c±ict), 



