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so wird 



Da die Zahlen d, und c, höchstens =-^p werden, so wird 

 b]-hc\ höchstens = -Tfp' und daher p, höchstens = -y/?, also 

 immer gewifs kleiner als p. 



Wenn die 4 Zahlen /?, /?,, i,, c, einen gemeinschaftlichen 

 Factor haben, so haben denselben Factor auch die Zahlen p^y 

 p, Ä, c\ und umgekehrt, wenn die Zahlen p°, /?, 6, c einen ge- 

 meinschaftlichen Factor haben, so haben denselben Factor auch 

 die Zahlen /p, /?,, ä,, c,, wie aus den vorstehenden Formeln 

 unmittelbar ersichtlich ist. 



Wenn man auf dieselbe Art, wie im Vorhergehenden aus den 

 Zahlen />°, />, ä, c die Zahlen /?, /?,, *,, c, abgeleitet worden 

 sind, aus diesen letztern die Zahlen /7,, p^^ b^^ C2 ableitet, und 

 aus diesen wieder auf dieselbe Art neue ^2» Ps^ *3) ^3? und so 

 fort, so mufs das Verfahren einmal aufhören anwendbar zu 

 sein, weil die ganzen positiven Zahlen /?, Pi, pq u. s. w. nicht 

 in's Unendliche abnehmen können. Das Verfahren kann aber 

 nur dann aufhören anwendbar zu sein, wenn man auf Zahlen 

 />,• , &, , c; kommt, von denen die erstere die beiden andern 

 theilt, weil dann Pi^ti *. +« und «^i +i der Null gleich wer- 

 den. Ist man zu solchen Zahlen gekommen, so zeigt die Glei- 

 chung 



A-i Pi=bf+Cf, 



dafs pi _ , p; durch pf theilbar ist, und daher auch /?, _< durch p, 

 theilbar sein mufs. Daraus aber, dafs die vier Zahlen /?,_i, />,• , 

 *,-, c; den gemeinschaftlichen Factor /?, haben, folgt nach dem 

 obigen Satze, dafs auch alle vorhergebenden Zahlen denselben Fac- 

 tor haben, also auch die ursprünglichen Zahlen ;t>°, /?, ä, c durch 

 Pi theilbar sein müssen. Wenn daher, wie in dem Salze II ange- 

 nommen worden ist, b"^ -\-c^ eine ungerade Zahl ist und b und 

 c keinen gemeinschaftlichen Factor von der Form 4n — 1 haben, 

 so kann pi , als gemeinschaftlicher Factor von b und c, weder 

 gerade sein noch die Form 4n — 1 haben, sondern mufs eine 

 ungerade Zahl von der Form An-\-i sein. Haben b und c über- 

 haupt keinen gemeinschaftlichen Factor, so mufs /?, = 1 werden. 

 Multiplicirt man die Gleichungen 



