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p,_,p,=hf-^cj 

 mit einander, so wird, wie Diopliantus bekannt war, das Product 



PP\ ' PiPi 'PiPl • ' • ■ P!-\Pi = PPi [PlPi • • Pi-\Y 



v/Ieder die Summe der Quadrate zweier ganzen, und daher 

 pPi die Summe der Quadrate zweier rationalen Zahlen. Die 

 Zahl PPi mufs ungerade sein, weil p und />, als Factoren der 

 ungeraden Zahl ö^+c^ ungerade sind. Es mufs aber zufolge 

 I die ungerade Zahl pp; als Summe der Quadrate zweier rationa- 

 len Zahlen die Form ^n-\-\ haben, und da /?, diese Form hat, so 

 mufs auch p die Form 4«-t-l haben, was zu beweisen war. 

 ^Venn b und c keinen gemeinschaftlichen Factor haben, und 

 daher /;, = 1 wird, so folgt aus dem Vorhergehenden, dafs p die 

 Summe der Quadrate zweier rationalen Zahlen Ist. Man hat 

 daher auch den Satz: 



III. wenn eine gegebene ungerade Zahl die Summe zweier 

 Quadrate ist, die keinen gemeinschaftlichen Factor ha- 

 ben, so ist auch jeder Factor der gegebenen Zahl die 

 Summe der Quadrate zweier rationalen Zahlen. 



Die Methode, aus einer Summe zweier Quadrate, welche 

 ein Vielfaches von p Ist, durch Änderung der Wurzeln um Viel- 

 fache von p eine andere Summe zweier Quadrate abzuleiten, 

 die ein kleineres Vielfache von p ist, scheint mir solchen Me- 

 thoden, welche wir bei Diophantus finden, analog. Denn in ver- 

 schiedenen Problemen leitet er aus einer gegebenen Zerfällung 

 einer Zahl in zwei Quadrate andere ab, in welchen die Wur- 

 zeln der beiden Quadrate sich zwischen gegebenen Gränzen be- 

 finden. Er hat sogar das eigne Wort \j.z-c(hii\{iv umzerfällen 

 für die Operation, durch welche eine Summe zweier Quadrate 

 als Summe von anderen zwei Quadraten dargestellt wird. Die Me- 

 thode ferner, durch einen fortgesetzten Prozefs zu Immer klei- 

 nern Zahlen zu gelangen, ist derjenigen ähnlich, deren sich bereits 

 Euclldes zur Auffindung des gröfsten gemeinschaftlichen Theilers 

 zweier Zahlen bedient. 



Der Satz III kann vervollständigt werden, Indem auch der 

 Satz gilt, 



