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IV. dafs jeder Factor der Summe zweier ganzen Quadrate, die 

 keinen gerneinschafl liehen Thciler haben, wieder die Summe 

 zweier ganzen Quadrate ist. 

 Auch der Beweis dieses vollständigeren Satzes enthält nichts, 

 was dem Diophantus nicht zugänglich gewesen wäre. Da DIo- 

 phantus die beiden Arten , das Product zweier Summen zweier 

 Quadrate wieder als solche darzustellen, genau kannte, so konnte 

 Ihm, wenn er überhaupt sein Augenmerk darauf richtete, nicht 

 entgehen, dafs In der einen dieser beiden Arten die beiden Wur- 

 zeln Immer durch /^, theilbar werden. Hierauf aber beruht Im 

 Wesentlichen der Beweis des Satzes III. 

 Wenn man nämlich In der Gleichung 



(bl-i-c]) (bl-i-cl) = (b, i^ + c, C2)2 -H (b^c^-b^c^y 



für b.2 und cg die Werthe 



substituirt, so werden, wenn b]-i-cl=:ppi, die Wurzeln der bei- 

 den Quadrate rechts vom Gleichheitszeichen, 



*l <^2— *2<'l=/'l OlC,— A:, Ä,), 



und daher, wenn man 



bl-hcl=ptp.^ 



setzt, nach Division mit pl, 



PP2={p — Hbi—ki c^y+(itCt—k^b,y 



(wofür man, da nach den obeff gegebenen Formeln 



P2=p — it (by-i-bz) — kl (ci-f-Cg) 

 Ist, auch 



PPZ = (/■'2-+-'l Ä2-t-^l<^2)^ -*-('! «^2—^1 ^2y 



setzen kann). Aus dieser Zerfällung leitet man auf dieselbe Art, 

 wie sie selbst aus der Zerfällung von ppf erhalten worden Ist, 

 die Zerfällungen von pp3, pp^ etc. ab, wo p,Pi<, p<it Pi^P^ etc. 

 eine rasch abnehmende Reihe positiver ganzer Zahlen bilden, die, 

 wenn b und c keinen gemeinschaftlichen Factor haben, zuletzt l 

 werden, was die verlangte Darstellung von p als Summe zweier 



