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Läfst man jetzt die Vielfachen von X weg, und bemerkt, dafs 

 r,, r2, ... »"^„t, wenn auch In anderer Ordnung, mit den Zah- 

 len 1, 2, 3, ...g' — 1 zusammenfallen, so hat man 



^ (t) -^ ^ (7) -^ • • -^ ^ C-7^) ^ °""°''- ^' 



welche Congruenz zwar Brüche enthält, die aber, well der Mo- 

 dul A in keinem der Nenner vorkommt, sogleich auf ganze Zah- 

 len gebracht werden können und darum nicht stören. Die Func- 

 tion X (x) hat unter anderen merkwürdigen Eigenschaften auch 

 die, dafs sie sich In folgende unendliche Reihe entwickeln läfst: 



(— l)°J?„ (— 1)". 2 ^COS 2x7r cosAxTT 



■f >,_(^Z})1^ (— 0"-2 / cos 2a: 



2Z» 



COS 6XTt 



32» 



4-. 



gültig in den Grenzen x = o bis xz=i. Setzt man in diesem 



1 2 g 1 



Ausdrucke nach einander x=o, — , — , ... und addirt, wo- 



S e S 



bei zu bemerhen ist, dafs X(o) = o^ so wird im allgemeinen 



Ihn ^kit 2(g—\)kTT 

 1 -f- COS 1- cos H . . . . -f- cos = o, 



SS s 



nur wenn k ein Vielfaches von g ist, wird diese Summe nicht 

 gleich Null, sondern gleich g-, darum wird 



(— l)"2g' / 1 1 1 . . r\ 



—• ^ -c-^ I —n H ■: — TS H -, — nr- + ... in mf. 1 



es ist aber bekanntlich 



1 1 . . - (2^)^'iB, 



1 + ^57-*-^ + . ..m.nf.= -^--, 



darum wird 



