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Zahl congruent sein soll, für den Modul X, ohne 

 eine ?." Potenz einer anderen Einheit zu sein. 

 Es sei 



Ein) = ± rt* e («) . c («^ ) e {aß ), 



welche Form alle möglichen Einheiten umfafst. Die Bedingung 

 E(cc)=c, niod. A, glebt zunächst E(cc~^) = c, also auch E(cc~*) 

 ■= E (n), woraus «"* = «'* folgt: es mufs darum zunächst k = o 

 sein, und wenn zur m'*" Potenz erhoben wird, hat man: 



E(a) = ±e(a)e(ci^) e{a^ ) 



und weil E (c()^.c ist : 



77J, 7712 "^y.-l 



lx-2 



c" = i e («) . e («^ ) . . . . e («^ ), mod. A. 



Wenn nun A eine Primzahl ist, welche in den Zählern der er- 



A — 3 



sten Bernoullllschen Zahlen als Factor nicht vorkommt, so 



2 

 kann, wie wir oben bewiesen haben, eine solche Congruenz 

 nicht bestehen, ohne dafs m,, m^ ....m^_y alle durch A theil- 

 bar sind. In diesem Falle ist darum E" («) gleich einer A"" 

 Potenz einer Einheit, und n nicht thellbar durch A, well der 

 Nenner n nicht mit allen Zählern tm,, mg, . . . m^_j einen ge- 

 meinschaftlichen Factor haben soll. Wenn aber E" («) gleich 

 einer A"" Potenz ist, und n nicht durch A theilbar, so wird 

 leicht geschlossen, dafs auch E{ci) eine A'' Potenz sein mufs. 

 Bestimmt man nämlich die beiden Zahlen s und t so, dafs ns 



X^=l, und erhebt E"- («) zur /^" Potenz, so ist auch E"' («) 



= 2;'+''' («) = -£(«) . E'^* (et) gleich einer A'^° Potenz einer Ein- 

 heit, also auch E{a) eine A'^ Potenz einer Einheit. Hiermit Ist 

 folgender Lehrsatz bewiesen: 



Wenn A eine Primzahl ist, welche in den Zählern der 



A^3 



ersten Bernoulllischen Zahlen als Factor nicht vor- 



2 



kommt, so ist jede aas A'«° Wurzeln der Einheit gebil- 



