— 48 - 



§ 1. 



Das Euler'&che Integral erster Art 



Jo ^ ^ r (a -h b) 



geht bekanntlich dadurch, dass als Spezialfall a + b = 1 

 gesetzt wird, über in 



S = 3 x"" (1 — x) "" dx = r (a) r (1 — a), 



da r (1) = 1 ist. 

 Hieraus folgt durch Integration die vielfach angewandte 

 Grundgleichung 



r (a) r (1 — a) = ^^ , < a < 1. 

 ^ ^ ^ sm a ^ ' 



Die Richtigkeit dieser Formel kann auf mannigfache 

 Art und Weise gezeigt werden, am einfachsten und schön- 

 sten gestalten sich die Beweise durch Integration des 

 obigen Integrals S mittelst Umformung des Integrations- 

 weges. Ich verweise hiebei auf einen Aufsatz von Herrn 

 Prof. Dr. Scilla fli in den „Mittheilungen der Naturforschen- 

 den Gesellschaft" von Bern vom Jahre 1862, pag. 261 u. ff., 

 im Fernern auf einen ähnlichen Beweis, den Prof. J. J. 

 Schönhoher in seiner Hauptarbeit, betitelt ,,Ueber die 

 Auswerthung bestimmter Integrale mit Hülfe von Ver- 

 änderungen des Integrationsweges", Bern 1877, gegeben 

 hat. Beide Verfahren scheinen mir aber noch nicht ein- 

 fach genug zu sein. 



f a— 1 — a 



S = 3 X (1 — x) dx kann durch Substitution von 



Y dy übergeführt werden, so dass 



1 + y ""() 1 ^ y 



