
Neuere Forschungen im Gebiete der konformen 
Abbildung. 
Von Ludwig Bieberbach in Berlin. 
Auf den ersten Blick bietet die allgemeine Theorie der analy- 
tischen Funktionen in den letzten zwanzig Jahren ein recht buntes 
Aussehen. Die Fülle der Sätze und Ergebnisse, der noch ungelösten 
Probleme, der im Flusse der Erörterung stehenden Fragestellungen 
scheint unübersehbar. Und doch sind es nur einige wenige Quellen, 
aus welchen der ganze Reichtum fliesst, nämlich das Problem der 
Uniformisierung, dann die Frage nach dem Verhalten der Funktionen 
in der Nähe singulärer Stellen, endlich die Frage nach dem Zusam- 
menhang der Funktionseigenschaften untereinander und mit den Koef- 
_ fizienten eines die Funktion bestimmenden Funktionselementes. Die 
zweite und die dritte Fragestellung sind schon eng umschlungen und 
durchdrungen z.B. beim Picardschen Satz und bei den ganzen tran- 
scendenten Funktionen. Das erste, nämlich das Problem der Uni- 
formisierung beginnt erst allmählich sich als Glied einer grösseren 
Gesamtheit zu fühlen. Es ist eine Aufgabe der nächsten Zukunft, auch 
dies Problem mit den beiden anderen in wechselseitige befruchtende 
Beziehung zu setzen. In Versöhnung und Ergänzung findet man Rie- 
mannsche und Weierstrass’sche Ansätze eng bis zur Unzertrennlich- 
keit verbunden. 
Auf dem Boden der konformen Abbildung ist in den letzten 15 
Jahren der Funktionentheorie ein schönes neues Kapitel zugefügt 
worden, in dem alle drei Fragestellungen ihre Fruchtbarkeit bewährt 
haben. Als Hülfsmittel für die Beweisführung steht das Gebiet in 
o vielen seiner Ergebnisse in Beziehung zur Uniformisierung. In seinen 
Fragestellungen erweist sich der Einfluss der beiden anderen Aus- 
gangspunkte moderner funktionentheoretischer Forschung als bestim- 
mend. Wenn ich es also unternehme, an Erreichtem, an Erstrebtem 
und an den Methoden einen Ueberblick über die Problemstellungen 
und den (Gedankengehalt in diesem Gebiet zu geben, so haben wir 
zugleich ein getreues Konterfei der Funktionentheorie überhaupt vor 
uns. Dass in einigen Arbeiten des Herrn von Mises!) die Eignung, 
zu hydrodynamischen Anwendungen zum Ausdruck kommt, wird man- 
cher noch als besonderen Vorzug des neuen Gebietes buchen. 
Welches war die allgemeine Lage, als das Gebiet, das wir behan- 
deln wollen, sein Werden begann? Inwieweit konnte an vorhanden® 
Bestrebungen und Einstellungen angeknüpft werden? Ich will nur 
durch ein paar Beispiele das Milieu andeuten, In aller Mund war die 
Entdeckung, welche Landau?) im Jahre 1904 im Gebiete des Pi- 
cardschen Satzes gemacht hatte. Wenn eine analytische Funktion 
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