
in einem Kreise |z| < R regulär sowie von Null und Eins verschie- 
den sein soll, so muss zwischen R und den beiden ersten Koeffi- 
zienten a, und a, eine Ungleichung bestehen. Noch deutlicher zeigt 
der Schottkysche Satz”) von 1904, dass die Eigenschaft einer Funk- 
tion in einem Kreise |z| < R zwei Werte (Null und Eins) nicht 
anzunehmen, einen Einfluss hat auf die übrigen Eigenschaften dieser 
Funktion. Denn Schottky lehrte, dass sie alsdann in jedem Teil- 
kreis zl<r<R eine gewisse Schranke S(r) dem Betrage nach nicht 
übersteigen kann. Stellt also der Landausche Satz eine Beziehung 
zwischen der genannten Eigenschaft und den Koeffizienten fest, die 
später weiter ausgebaut wurde, so enthält der Schottkysche eine 
Beziehung zu dem Wertevorrat in einem Teilbereich, zum Wachstum 
der Funktion bei Annäherung an den Kreisrand. Wenig später 1905 
lehrte Caratheodory*) den Einfluss der Beschränktheit allein von 
f (2), also einer Ungleichung wie |f(J|<M in |z|<R auf die 
Koeffizienten ax kennen. Ich habe damit das Milieu durch Problem- 
stellungen gekennzeichnet, die zu Beginn unserer Epoche die For- 
schung beschäftigten. Ich habe noch des fast ältesten Satzes Erwäh- 
nung zu tun, in dem unsere Fragestellungen wirksam waren. Kein 
Wunder, dass uns dies Schwarzsche Lemma?) in den Bannkreis der 
Weierstrassschen Schule führt: Wenn /(2) in |z|< I regulär ist, 
wenn /f(O)=0 ist, wenn endlich |f@)|<7 in ganz |2|<]/ gilt, 
so gilt für |2]|<r sogar \f Z) |< r. Wir sehen wieder den Einfluss 
der Beschränktheit auf den Funktionsverlauf. Also in allen Beispielen 
handelt es sich um die Beziehungen zwischen den verschiedenen Funk- 
tionseigenschaften und ihren Zusammenhang mit den Koeffizienten 
eines die Funktion bestimmenden Funktionselementes, ihren Zusam- 
menhang also sozusagen mit den Atomen und Molekülen der Funktion. 
Ich erwähne in diesem Zusammenhang auch den Vitalischen 
Satz‘), der ein Kriterium für die gleichmässige Konvergenz einer Reihe 
von Funktionen enthält unter. der Voraussetzung, dass die Partial- 
summen dieser Reihe in einem allen gemeinsamen Regularitätsbereich 
alle dem Betrage nach unter derselben Schranke M bleiben. Der Satz 
besagt, dass dann aus der blossen Konvergenz in unendlich vielen 
einem inneren Teilbereich des Regularitätsgebietes angehörigen Stellen 
die gleichmässige. Konvergenz in diesem Teilgebiet schon folgt. Für 
unseren Zusammenhang lehrt der Satz den Einfluss der Beschränktheit 
auf die Konvergenz. 
Die ersten Koebeschen Arbeiten?) zur Uniformisierung von 1907 
und den folgenden Jahren zogen nun neben den bislang herange- | 
zogenen Funktionseigenschaften noch die Schlichtheit in den Kreis 
der Betrachtung. Diese Eigenschaft besitzt eine Funktion dann in 
einem Regularitätsbereich, wenn sie darin keinen ihrer Werte mehr 
als einmal annimmt. Gegenstand der folgenden Zeilen soll es nun 
sein, die Beziehung dieser Schlichtheit zu den übrigen Funktions- 
eigenschaften” und zu den Koeffizienten darzulegen, soweit sie die 
Forschung der letzten Jahre zu tage gefördert hat. Wir werden dabei 
auch Gelegenheit haben eines oder das andere neue Ergebnis mit- 
zuteilen und auf manche noch ungelöste Frage hinzuweisen. Dabei 
will ich mich statt der historischen einer systematischen Darstellung 
befleissigen. 
