

Ich muss mit .dem erst zu einem Teil gelösten Koeffizienten- 
problem?) beginnen: Welche Bedingungen bestehen für die Koeffizienten 
der Potenzreihe 
arzt +.. (1). 
wenn dieselbe eine schlichte Abbildung des Kreises |z|<1 vermitteln 
soll? Das wichtigste dieser Frage bisher abgewonnene Ergebnis ist 
in dem folgenden Satz enthalten: Der Koeffizient des quadratischen 
Gliedes genügt der Ungleichung |a,|< 2. Diese ist keiner weiteren 
Verbesserung mehr fähig, d. h. es gibt zu jedem dieser Bedingung 
genügenden Wert von a, Funktionen (1), welche in |z2|)< 1 schlicht 
sind. Bis jetzt ist zum Beweis dieses Satzes wie überhaupt zur Be- 
handlung des Koeffizientenproblemes ein gewisser Umweg nötig. Ich 
will die Brücke nachher schlagen und will jetzt nur feststellen, dass 
man die gestellte Frage auf die entsprechende für das Aussengebiet 
eines Kreises zurückführen kann. Diese lautet also: Welche Bedin- 
gungen bestehen für die re von 
FO-+ ++ (2) 
wenn diese Potenzreihe eine a Abbildung von |{|>1 ver- 
mitteln soll? Das wesentlichste hier bisher gewonnene Ergebnis 
kommt in einem Satz zum Ausdruck, den ich den zweiten Flächen- 
satz nennen möchte’): Wenn (2) in lt > I schlicht sein soll, so muss 
die Ungleichung 
Be Polje N Le (3) 
bestehen. Ich nenne diesen Satz Flächensatz, weil 
r— n|a]--2:2 0, ?— 
weiter nichts ist als der (äussere) Inhalt der res welche g(£) 
in |&|>1 nicht annimmt, also der Inhalt der Punktmenge welche der 
durch g(£) erhaltene Bildbereich von |&|>1 unbedeckt lässt. Der ist 
aber selbstverständlich nie negativ. Der Flächensatz besagt, dass er 
nie grösser ist als der Inhalt des Kreises |{ |< 1 selbst, dass also jede 
schlichte Abbildung (2) von |{| >1 den Inhalt der unbedeckten Punkte 
verkleinert. Nur die Abbildung g(£) = € lässt den Inhalt natürlich un- 
geändert. Zur Berechnung dieses Inhalts und damit zum Beweis des 
Flächensatzes hat Pick’) den einfachsten Weg gewiesen. 
Durch (2) wird nämlich der Kreis (= re'® auf die Kurve 
G,:w=e(re'?) der w — Ebene abgebildet. Falls aber 
w=u(9) +-iv(9) =W(9) ((<#<2r) 
die Gleichung einer geschlössenen Kurve in Parameterdarstellung ist, 
so ist der von ihr umschlossene Inhalt bekanntlich 
2m 
= :|wv—vu) do (4) 
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