

In unserem Falle wird also 
2" 
19 4 po-1% oo Ind 1 ing 
re'"-b-re 4 ne + An e 
= | a = Med en 
0 

19 —19 “oo —ing ing 
xire oš le e. sia že 
1 
Bei der Ausrechnung braucht man nur die bei dem Ausmultiplizieren 
sich ergebenden Glieder zu betrachten, welche keinen Exponential- 
faktor enthalten: denn die anderen werden durch die Integration zu 
Null. Daher findet man leicht 
T *“nla,P ka 
Tr a Pr 2 | i 

Die Bedingung, dass bei schlichter Abbildung I,> 0 sein muss, liefert 
dann sofort den Flächensatz: : 
[eo] 
lim Zp =I1>0. Also Yn ja, ?<1. 
=.) 1 si 
Dieser Flächensatz enthält ersichtlich nur eine notwendige Be- 
dingung für schlichte Abbildung. Man kann aber die Betrachtung 
leicht so verallgemeinern, dass man eine notwendige und auch hin- 
reichende Bedingung erhält. Das soll jetzt geschehen: Es sei B', der 
* von (5, umschlossene Bereich. Es sei weiter p (u,v) eine in diesem 
Bereich stetig erklärte nirgends negative Funktion, dann muss 
B' 
sein. Partielle Integration, ein Weg der für p = 1 zu der Inhaltsformel 
(4) führt, liefert hier die folgende Darstellung unseres Integrales (3'): 
2 
d 
[rw v)dv— [1 v) 79 4920 
0 
6, 
Dabei wird mit /(u,v) eine Funktion bezeichnet, welche der Be- 
dingung 
ol 
SA PAR, v)>0 
genügt. Die so gefundene Bedingung ist nun auch hinreichend. Ich 
behaupte also mit anderen Worten die Richtigkeit des folgenden 
Satzes: Die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass die 
Funktion (2) den: Kreis |&£|>1 schlicht abbildet besteht darin, dass 
für jed: Funktion I(u,v), deren, Ableitung E in der ganzen u, v Ebene 
nirgends negativ ist, das Integral 
mrem. m u ope an vn pan 
