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den |£|>1 nicht schlicht ab. Denn die Ableitung w' verschwindet 2 
1 » 
an den Stellen € == n?”** Aber immerhin lehrt unser Flächensatz, 
dass bei schlichter Abbildung Schranken für die Koeffizienten exi- 
stieren, wenn auch, wie wir sahen ihre genaue Bestimmung weitere 
Hilfsmittel erfordert. 
Dies Ergebnis legt die Frage nahe, ob beim ursprünglich ge- 
stellten Problem, nämlich bei der schlichten Abbildung des Kreis- 
inneren |z|)<1 durch (1) etwa auch Schranken für die Koeffizienten 
vorhanden sind. Dies ist tatsächlich der Fall. Das erkennt man, wenn 
man sich klar macht, dass dem Flächensatz doch auch eine Aussage 
über die schlichte Abbildung von |2 |< 1 durch (1) entsprechen muss. 
Denn soll die Funktion (1) also | 
oW\==f(2)=z2++02%+ 
den Kreis z <1 schlicht abbilden, so muss 
1 
W==0()= =a 
I) 
eine schlichte Abbildung von |, >1 liefern. Rechnet man die Koef- 
fizienten von »(£) aus, so liefert der Flächensatz eine Ungleichung, 
welcher die Koeffizienten a, von (1) genügen müssen. z. B. wird 
, £ : 1 
PO) M May jee zra: 
und daher muss z. B. |a,—a?|<1 sein. Daraus kann man aber 
noch nicht schliessen, dass etwa a,| selbst beschränkt sei. Eine 
Schranke für |a, | gewinnt man erst, wenn man noch einen weiteren 
Gedanken?) heranzieht: Wenn (1) den Kreis |z <1 schlicht abbildet, 
so besitzt offenbar auch 
FOR Vje Žene ho 
diese Eigenschaft. Man findet aber x 
1 PERE. 
& (6) = (*) > x e2 Ir 
Daher folgt aus der eben herangezogenen Folgerung aus dem Flächen- 
satz a,|<2. Da aber 
BA —oen 
gilt, so folgt aus |a, | <2 weiter |a,|<5. Geht man zum ersten 
Uebergang von /(2) zu $(£) zurück, so liefert die Betrachtung der 
übrigen Koeffizienten von  (£) nun sofort Schranken für die übrigen 
Koeffizienten ax. Jedenfalls aber gilt der Satz: Wenn (1) den \z <1 
schlicht abbilden soll, so muss es Schranken geben, derart, dass 
dx, < M, ist. Insbesondere gilt |a,|<2. Nun gilt aber weiter die 
folgende wesentliche Zusatzbemerkung. Die Abschätzung |a, <2 
kann nicht verbessert werden. Denn in der Funktion 
a (5) 
ist der zweite Koeffizient gleich zwei und diese Funktion bildet 
iz <1 schlicht ab, auf die volle Ebene, begrenzt von der negativen 
reellen Achse von — + bis oo. 
u von a pr 
