
Das ist leicht mo Denn geht man in der vorhin dar- 
2) 
eesoch : 
zu 144 - 2=€(0) 
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über, so müssen wir nur sehen, dass p (£) den |€| > 1 schlicht ab- 
bildet. Das bemerkten wir aber schon vorhin. Die Abbildung erfolgt 
jetzt auf die volle vom Schlitz —4<w<0 begrenzte Ebene. Geht 
man durch 0. zum Bild zurück, das (1) von |z| <1 liefert, so 
‚gelegten Weise von 
PE VEEN 
2 
wird dies in der behaupteten Weise begrenzt sein. Hiermit begegnete 
uns zum ersten Male die Funktion (5) in einer Rolle, in der wir sie 
noch oft sehen werden: Die äussersten Werte gewisser Abschätzungen 
werden immer von ihr geliefert. 
Wir verlassen damit das Koeffizientenproblem. Man sieht es bleibt 
noch viel Raum für weitere Forschung. Ausser den hier erwähnten 
Ergebnissen findet man in meiner erwähnten Arbeit in den Berliner 
Sitzungsberichten von 1916 nur noch eine qualitative Klärung des 
Koeffizientenproblems. Deutet man die Koeffizienten (@,, Q;, ... Qn) 
als Koordinaten eines Punktes in einem 2n —2— dimensionalen Raum, 
so müssen für schlichte Abbildung (1) diese Punkte einen gewissen 
einfach zusammenhängenden endlichen Bereich erfüllen, ein Ergebnis 
also, das ähnlich aussieht, wie das, welches man in Verfolgung der 
eingangs erwähnten Carathćodoryschen Fragestellung für die Koeffi- 
zienten beschränkter Potenzreihen gewonnen, der wesentlich einfache- 
ren Problemlage entsprechend aber auch vollständig erledigt hat. 
Man kann die Abschätzung |a,|<2 in merkwürdiger Weise 
geometrisch interpretieren‘): Wenn € > 1 durch (2) schlicht abgebildet 
wird, so liegen alle Randpunkte des Bildbereiches in dem Kreise |w|<2. 
Auf dem Rande dieses Kreises dg sich nur un Koa odes 
Bildbereiches, wenn (2) mit € + + oder mit S-- 5 an < identisch ist. 
Diese Funktionen bilden ja auf den von —2< w < +2 begrenzten 
Schlitz ab, bezw. auf einen aus diesem durch Drehung um den 
Winkel e im Uhrzeigersinn entstandenen. 
Der Beweis ist einfach: Sei —h ein Randpunkt, so bleibt bei 
der Abbildung 
mot + + 
£=0 unbedeckt. Daher liefert 
f9= —m=2-hzit:. 
9(z) 
eine schlichte Abbildung von |2|< 1, und daher ist || <2. Soll 
aber h == —2 sein, so muss, wie unsere Gedankengänge leicht er- 
kennen lassen 
fO= ap 


ir 
