

Prema pra m a Sa BE Bra e re enge 

1 <lf (2) 
SWR 
gilt. Unsere Betrachtung lehrt, das sei noch besonders hervorgehoben, 
dass diese Funktion S(r) universell ist, d. h. von f(z) selbst nicht 
(2) | aller schlichten Abbil- 
I (2) 
dungen liegen zwischen denselben festen Schranken. Wählt man ins- 
besondere wieder 2, =0, 2, = z so erkennt man die Existenz zweier 
universeller Funktionen d(r) und D(r), für welche die Abschätzung 
da)<f() <D(r) (izl<r<!) 
gilt. Sie lehrt, dass die lokale Masstabänderung zwischen bestimmten 
Grenzen liegt. Betrachten wir nun insbesondere einen von z=0 
ausgehenden Radius |2!—=re!P. Dieser geht bei der Abbildung in 
eine Kurwe o —= f(re‘?) über, deren Länge durch 
L=/|f (reis, dr 
0 

<S(1) 


abhängt. Die Verzerrungsverhältnisse 

gegeben ist. Der Verzerrungssatz gibt für ihre Länge sofort zwei 
Schranken 
falr)dr <L< Dinar. 
0 0 
Diese Abschätzung gilt aber nun auch für die Länge des Bildes 
einer beliebigen anderen Kurve, welche z =0 mit einem Punkte des 
Kreises |Z =r verbindet. Um das einzusehen, denke ich mir die 
Kurvenpunkte auf ihre Entfernung r von z=0 als Parameter, be- 
zogen und bemerke zunächst, dass dann überall die Ableitung z’(r) 
der Kurvengleichung z(r) nach r dem Betrag nach grösser oder 
gleich Eins ist. Denn man hat ja 
z'(r) = lim 2. 
Inch 
Hier ist aber sicher | 2— z,|>r—r,, und daraus folgt die Behauptung. 
Nun aber ist 

PFI iza)ldr 
die Länge der Bildkurve. Also ist tatsächlich auch für ihre Länge 
L>/ f(2)\dr>/d(r)dr. 
520. 0 
Daraus ergibt sich nun aber weiter z. B. die nachstehende Folgerung. 
Die Bildkurve, welche aus |z|=r durch (1) entsteht, kann keine 
Punkte besitzen, welche um weniger als 
far) dr 
0 
von z =0 entfernt sind. Denn sonst müsste es eine Verbindung des 
Punktes mit dem Kreis geben, welche durch die Abbildung in eine 
Kurve überginge, deren Länge unter der eben bestimmten unteren 
Schranke läge. Da diese Schranke wieder universell ist, d. h. für 
alle schlichte Abbildungen (1) gleichzeitig gilt, so haben wir nun 
auch den folgenden Satz: 
dd ute siiak pam 
