
Es gibt zwei für r< I erklärte positive Funktionen T(r) und U (r) 
derart, dass für jede in |z|< I! schlichte Abbildung (1) und für alle 
'z|<r<i die Abshätzungen 
Tn< fo <UW (60) 
gelten. Insbesondere kann man, wie unsere Betrachtungen lehren 
T(r) < (do) dr ud UG) = /D (r)dr (66) 
setzen. Denn das sind die Längenschranken für das Bild des Kreis- 
radius, welcher z=0 mit |2|=1 verbindet. 
Alle diese Sätze also haben sich uns aus den Koeffizientenab- 
schätzungen, also letzen. Endes aus dem zweiten Flächensatz ergeben. 
Nach unseren Darlegungen mag es als eine schwierige Aufgabe er- 
scheinen die Schranken wirklich zu bestimmen. In um so wirkungs- 
vollerem Licht erscheint uns daher ein Gedanke von Pick"). Diesem 
Forscher ist es nämlich durch einen besonders glücklichen Griff 
gelungen zu zeigen, dass man zur Berechnung der Schrankenfunktionen 
nur die Schranke a, <2 nötig hat. Wir wollen kurz zeigen, wie 
dies zu machen ist. Wir wollen aber nicht dem Pickschen Gedanken- 
gang folgen, sondern einer noch zugkräftigeren Idee uns anvertrauen. 
Es ist das ein Weg, den R. Nevanlinna!*) kürzlich angegeben hat und 
der recht deutlich erkennen lässt, dass der Flächensatz doch die 
Wurzel aller bisher bekannten Tatsachen ist. 
Diesem Gedanken folgend leiten wir zunächst die Hauptun- 
gleichung meiner Arbeit über den Drehungssatz!) her. Die Funktion 
C+2z 
i) 
Lo) 22) 


F() = 
istin © < 1 schlicht und hat F(0) =1. Daher gilt für sie F’(0)|<4. 
Rechnet man dies aus, so findet man die wichtige Abschätzung: 
f O1—izP) = 
— —2z <4. 7 
o Zi 
Mit Folgerungen aus (7) wollen wir uns nun zunächst beschäftigen. 
> Multipliziert man nämlich in (7) unter dem Absolutstrich mit 

so hat man 
I, 52.262) ZZ kosi 
rar ieaS s 7, 
f@ I- ler 1 -]zP u 
Daraus findet man die beiden folgenden Abschätzungen 
Ber 0 | iz 
2|z]| 4lz| "(S (2) < 41214212 (8a) 
Z 
= 




1—|z? = TE 2}: 
Ai a (21402) 4lz]| 
ee 9 
rl f@) er (8b) 
Nun aber ist für z= rei? 
| FI M og/(2)=r 51og|f(2)| (9) 

(8)- 
i, e pom 
| go Sef (= agro) (86) 
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