
Abbildungen die Bildkurve von z| =r verläuft. Wirft man nun einen 
Blick auf die Formeln (12), so erkennt man, dass die Schranken auch 
hier durch (5) für z=—r und z=:+r erreicht werden. Daher sind 
auch die Schranken in (13) genaue, keiner weiteren Verbesserung 
mehr fähige. In der Tat sind wir also hier zu einer restlosen Er- 
ledigung des Problemes gelangt. 
Ich hebe noch ein Teilergebnis, das in (14) enthalten ist, be- 
sonders hervor: Wenn (1) eine schlichte Abbildung von |z|=r 
vermittelt, so Ziegt kein Randpunkt des Bildbereiches in der Kreis- 
scheibe |z,< 4. Alle Randpunkte des Bildbereiches sind mindestens 
um \/, von z=0 entfernt. Man sieht das sofort, wenn man in der 
linken der beiden Abschätzungen (10) zu r —>1 übergeht. Unsere 
Schrankenfunktion leistet natürlich auch hier das äusserst mögliche. 
Sie bildet ja |z|< 1 auf einen Schlitzbereich ab, dessen Grenze von 
der negativen reellen Achse zwischen — + und gebildet wird??). 
Wir kehren zum Ausgangspunkt zurück. Von den beiden ge- 
stellten Fragen ist die eine durch den Verzerrungssatz erledigt. Die 
andere ist noch offen. Was kann man bei schlichter Abbildung über 
die Stellung der Linienelemente aussagen? Verfolgt man z. B. die 
Bildkurve eines Kreisradius, wie stark können sich äusserstens die 
Bilder seiner Linienelemente gegen die Richtung des Radius selbst 
drehen, wenn man längs des Radius fortschreitet? Die Stellungs- 
änderung wird bekanntlich durch arg f'(z) gegeben. Da aber 
argf (z) = glog f (2) 
ist, so handelt es sich also um die Abschätzung des imaginären Teils 
von log f (z). Dass für diesen aber Schranken existieren, folgt sofort 
daraus, dass es für die Ableitung von log,f (z) also für m. Schranken 
gibt, wie sich ja bisher schon als Folge des Flächensatzes ergeben 
hat. Die Integration von (110) nach |z| führt zum Drehungssatz.!*) Man 
erhält nämlich daraus: 
ars fg |<2108 4. (15) 
Dies Ergebnis, das ich Drehungssatz nenne, lehrt z. B. — um nun | 
. ein numerisches Ergebnis zu nennen, dass in |z|<0, 65 die Drehung 
unter x bleibt, dass also kein Linienelement aus diesem Kreis um 
mehr als x gedreht wird. Verfolgt man also z. B. die positive reelle 
Achse von z=0 bis z=0, 65 so kann ihr Bild nirgends die Richtung 
der negativen reellen Achse besitzen. Ich habe in der genannten 
Arbeit'") ausführlich dargelegt, aus welchen Gründen die hier ange- 
gebene Drehungsschranke nicht die genaue ist. 
Wir geben noch eine weitere geometrische Deutung!®) der links 
stehenden Abschätzung (8a). Zu ihr gelangen wir, wenn wir das Bild 
des Kreises z =r betrachten. Die Richtung der Kreistangente im 
Punkte z=rei® ist 
T 
3 +? 
Im Bildpunkte f(z) hat die Tangente der Bildkurve die Richtung 
Glasnik hrv. prirodoslovnog društva. 5 
