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3 rerargf (2). 
Differenziert man nach e so erhält man nach (95) 
+ (ELO 

(2) 
Daher wird nach (8a) 
ee a a, Fee 
S VES ; SIT ze Sp u 
Tee N yo) E 
Wenn nun aber der Ausdruck links positiv für |z| ==r ist, so be- 
deutet das nach unserer Herleitung, dass das Bild des Kreises 
|z|=r konvex ist, d. h. seine Höhlung stets gegen den Nullpunkt 
kehrt. Man rechnet aber sofort nach, dass für |z <2— 3 der 
Ausdruck auf der linken Seite von (16) stets positiv ist. Daher wird 
bei jeder schlichten Abbildung (1) der Kreis z <2—V3 = 0,26 
konvex abgebildet. Meistens wird sogar ein noch grösserer Kreis. 
konvex abgebildet. Aber es gibt einen Fall, wo gerade der genannte 
Kreis aber kein grösserer konvex abgebildet wird. Das ist der Fall 
für die majorante Funktion (5). Der Leser wird das leicht nach- 
rechnen. Ich nenne die gefundene Schranke mit Study °°) Rundungs- 
schrake. 
Nun ist es nur noch ein kleiner Schritt auch die Krümmung"!) 
der Bildkurve von |z| = r abzuschätzen, und so das spezielle eben | 
angegebene Ergebnis zu verallgemeinern. Die Krümmung wird nämlich 
durch die Ableitung der Tangentenrichtung nach der Bogenlänge also 
durch 

d T , 
ds E PT argf ()) 
gegeben. Nun ist aber längs der Bildkurve des Kreises z|=r 
ds i Pr 
Ze (2) |Z. 
Also wird die Kriimmung 
Ka=[1+9(8) | =a 
Daher finden wir die Abschätzung: 
1—|2|\ 1—41z|+ 12]? (12 * 1+4 (2 +12 
el) — TI EK (OTE no e 
1+|z] [2] ee. 12] 
In ähnlicher Weise schätzt man auch mit Hülfe unserer Formeln die 
Krümmung des Radienbildes arg f—=» ab. Man findet hier: 
(IE) ar,sa(iHE). 
Wir haben im Verlauf dieser Betrachtungen, welche sich an die 
Formel (7) anschlossen und dieselben ausdeuteten eine Fülle von 
Angaben über den allgemeinen Verlauf einer schlichten Abbildung 
gewonnen. Darunter waren eine grössere Zahl genauer, d. h. keiner 
Verbesserung mehr fähiger Abschätzungen. Sobald aber der imaginäre 
Teil von logf (z) eine Rolle spielte, bekamen wir nur ungefähre 
sn ie ama pm = u pram 


