
Abschätzungen z. B. der Drehung. Es dürfte zu interessanten Er- 
gebnissen führen, aufzuklären, woran das liegt, um hier tiefer ein- 
zudringen. 
Wir wollen aus unseren Ergebnissen noch einen weiteren Schluss 
ziehen!!). Nahe verwandt mit den konvexen Bereichen sind die von 
einem Punkt aus konvexen, die sogenannten Sterne. Das sind Be- 
reiche, die von jeder Gerade durch z=0 nur in einer einzigen 
Strecke geschnitten werden und die diesen Punkt z=0 selbst ent- 
halten. Man kann nun leicht einsehen, dass es einen Kreis geben 
muss, der bei jeder schlichten Abbildung auf einen Stern abgebildet 
wird. Ich nenne seinen Radius die Sternigkeitsschranke. Wir werden 
erkennen, dass dieselbe sicher grösser als 0,5 ist, dass also bei 
jeder schlichten Abbildung von |2)<1 der Kreis 2! < 0, 5 auf einen Stern 
abgebildet wird. Er ist nahezu doppelt so gross wie die universelle 
Rundungsschranke. Zu diesem Ergebnis führt uns die folgende Ueber- 
legung: Soll der Kreis |z| <r in einen Stern übergehen, so muss in 
jeder Richtung von z=0 aus gesehen genau ein Punkt der Bild- 
kurve von |z =r liegen. Daher muss sich der Vektor arg ‚/ (z) stets 
in derselben Richtung drehen, wenn z den Kreis |z!==r durchläuft. 
Daher muss die Ableitung 
0 zf (2) ) 
— arg/(z (2 
ae Je) 
positiv sein für |z|<r. Daher lautet die Bedingung: |z <r wird 
dann und nur dann sternig abgebildet, wenn 
(0) >0 
J(2) 
ist für \|z | <r. Diese Bedingung ist natürlich gleichbedeutend damit, 
dass E zgle) ea 
oo] 2 
ist. Nun aber ist 
arg sra =argf (z) — arg — 
der Winkel, welchen die Richtungsänderung eines Linienelementes 
mit der Richtung des Vektors — bildet. Dieser gibt die Azimut- 
änderung bei der Abbildung an. Es kommt also darauf an, dass der 
Unterschied zwischen Drehung und Azimutänderung im Kreis |z |< r 
T 
E 
- Dieser Winkel wird dann möglichst gross werden, wenn man bei der 
Abbildung eines Radius — z. B. der reellen Achse — die Drehung 
möglichst gross, die Länge der Bildkurve, d. h. |f'(z)! möglichst 
klein wählt, wenn man also 
| 1—r diže 
ee, 
urn 
als Bildkurve der positiven reellen Achse ansieht. Dann wird nach 
leichter Rechnung 

unter bleibt, eine Tatsache, die auch geometrisch leicht einleuchtet. 

= 

