+774 a Tr e = E STE E, ATE SV 
Ze > 

sa , 
arg — = argo = , 
2 . e7?060s2p—e sn 2n 1 1.22 
'z|)<rwird also sicher dann auf einen Stern abgebildet, wenn für 
Izl <r die Differenz 

e=20cos2p er zes (e— rai | 
20.060520. 2, 7 sw 4 
2logp — 
ie rer re 
dem Betrag nach unter > bleibt. Man rechnet aber leicht nach, dass 
dies für r==0,5 noch der Fall, für = 0,52 aber nicht mehr der 
Fall ist. 
ll. 
Wir haben damit die wesentlichen bisher bekannten Einwir- 
kungen der Schlichtheit auf den Verlauf der Abbildung dargelegt. 
Darüber hinaus verdient aber ein weiteres Problem noch tieferes 
Interesse. Der Riemannsche Abbildungssatz??) lehrt, dass die Ab- 
bildungsfunktion im Wesentlichen durch die Gestalt des Bildbereiches 
bestimmt ist. Genauer gesagt gilt folgender Satz. Die Koeffizienten 
der Reihe 
o=f(2) =4z2--a,2? + 
sind eindeutig durch die Forderung bestimmt, dass die Reihe eine 
schlichte Abbildung von |2)< 1 auf einen gegebenen Bereich liefern 
soll, derart dass dabei die Richtung der positiven reellen Achse in 
z—0 in die Richtung der reellen positiven Achse in w=0 über- 
gehen soll. Dann muss z. B der Koeffizient a, > O sein. 
Aber auch sein und der übrigen Koeffizienten Wert ist eindeutig be- 
stimmt. Wie ist nun die Abhängigkeit von der Gestalt des Bereiches ? 
Des weiteren: Wie wirken bestimmte gestaltliche Eigenschaften des 
Bereiches auf den Verlauf der Abbildung ein? Wie sind die bisher 
besprochenen Ergebnisse zu verschärfen, wenn noch ganz bestimmte 
gestaltliche Eigenschaften des Bildbereiches mit in Rechnung gestellt 
werden können? Solche gestaltliche Eigenschaften wären z. B. Be- 
schränktheit des Bereiches, oder die Forderung der Bereich soll 
konvex, oder soll ein Stern sein u. a. m. Z. B. könnte man daran 
denken ein Mass für die Kreisabweichung, die Rundung des Be- 
reiches, in dem Radienverhältnis zweier Kreise sehen, die einen Kreis- 
ring begrenzen, in welchem die Randkurve des Bereiches verläuft. 
Wie hängt die Rundung der Bilder der konzentrischen Teilkreise des 
|z'<1 von der Rundung des Randes ab? Ich habe damit in rascher 
Folge ein paar Proben eines Problemes angedeutet, das ernster Be- 
achtung wert erscheint. Ich komme nun dazu, die mancherlei Ergebnisse 
anzugeben, die man dieser Fragestellung schon abgewonnen hat. 
Am wenigsten tief greift wohl die Forderung der Beschränktheit 
des Bildbereiches ein. Pick!®) hat hier fast alle bisher bekannten Er- 
gebnisse gewonnen. Die zu betrechtenden Funktionen .« 
o=ff)=2+92° 
sollen also der Forderung genügen |f(z2) |< R in |z| < Dam 
lassen sich die Ergebnisse von Pick dahin zusammenfassen, dass die 
Schranken für |/(2)| und für |f'(z)| auf |2|—=r durch diejenige 
Funktion geliefert werden, welche |z| < 1 auf einen Bereich abbildet, 
welcher durch den Kreis |o = R und das Radienstück 
"a na 7 pm 
