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gelöstes Problem, die Eigenschaften der Koeffizienten derjenigen 
Funktionen anzugeben, welche in |z|<1 einen positiven Realteil 
haben. Wie tief die Forderung der Konvexität auf die Abbildungs- 
funktion im Vergleich mit der blossen Schlichtheit einwirkt, ersieht | 
man z. B. deutlich aus der folgenden Bemerkung von Löwner: Die 
Koeffizienten sind alle dem Betrag nach kleiner als Eins. Bei be- 
liebigen schlichten Abbildungen kommen aber Koeffizienten a, vom 
Werten vor, nämlich bei der majoranten (5). Ob, wie ich vermute 
stets |a„ <n gilt, ist noch unbekannt. Aus der Formel (14) kann 
man mit Hülfe des Cauchyschen Koeffizientensatzes jedenfals nur 
lan|< 5,1 n? erschliessen. 
Man kann die bei konvexen Abbildungen gewonnenen Resultate | 
ganz kurz zusammenfassen. Es sind überall die oben bei beliebigen 
schlichten Abbildungen angeführten Probleme voll erledigt. In allen 
Fällen werden die Schranken der Abschätzungen durch die Majo- _ 
rante (19) erreicht. > 
Ich schliesse die Betrachtung der konvexen, Abbildungen mit | 
einem etwas anders gearteten Satz von Caratheodory®*): Wenn dien | 
ersten Koeffizienten a, a, :: an einer Potenzreihe beliebig vorgegeben | 
sind, so kann man die übrigen auf genau eine Weise so bestimmen, 
dass die Reihe eine Abbildung ihres Konvergenzkreises auf ein konvexes | 
Polygon von höchstens n — 1 Seiten vermittelt. Das nächstliegende würde 
es nun sein, Abbildungen zu betrachten, die konvex und beschränkt 
zugleich sind. Aber hier sind kaum Ergebnisse bekannt, wenn man 
auch mancherlei Vermutungen über die Abbildung hegen kann, für 
die hier die Schranken erreicht werden. Es wird voraussichtlich die 
Abbildung auf ein Segment des Kreises in Betracht kommen, dessen 
Radius die Schranke der Beschränktheit ist. j 
Die Abbildungen von z <1 auf einen Stern hängen enge mit | 
den konvexen Abbildungen zusammen. Alle Sternabbildungen sind 
nämlich einer früher schon benutzten Bemerkung zufolge in der 
Form zf'(z) darstellbar, wo f(z) eine konvexe Abbildung ist. Hier | 
werden alle Schranken durch die _ Majorante (5) die ja selbst eine 
Sternabbildung ist erreicht. Dies scheint auch für die Drehungs- | 
schranke zuzutreffen, wiewohl es da noch nicht völlig bewiesen ist. 
Nun gehe ich noch mit ein paar Worten auf die letzte oben 
erwähnte Frage ein: %') Wie wirkt die gegebene Rundung des Randes 
auf die Abbildung ein. Viel ist hier nicht bekannt. Um so mehr reizt 
die Frage vielleicht zum Nachdenken. M(r) und m(r) mögen Maxi- 
mum und. Minimum von |f(z)| für |z|=r sein. Wir haben also 
hier den Quotienten 
rn 
Emil), x 
F(r) x Mir) : 
zu betrachten. Unsere Annahme ist, das F(1) gegeben ist. Man soll 
angeben, was daraus für den Verlauf von F(r) für r<1 folgt. Zu- 
nächst lässt sich ganz allgemein sagen, dass log F(r) eine konkave 
Funktion von log r ist. Weiter ergibt sich : 
1 
Fun | 
weil für jede schlichte Abbildung von |z|<1 durch (1) Randpunkte | 

za 
