
ins Innere des Einheitskreises zu liegen kommen. Daraus folgt aber 
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d. h. die Abbildung ist beschränkt. Daher werden die Pickschen 
Ergebnisse über schlichte beschränkte Abbildungen verwertbar. 
č II. 
Ich komme zu einer anderen Gruppe von Sätzen, an welchen 
sich der Einfluss der Eigenschaften des Randes auf die Abbildungs- 
funktion erkennen läst. Ich meine z. B. den Satz, dass die Abbildungs- 
funktion in jedem analytischen Randstück regulär analytisch bleibt, 
dass demselben also ein Bogen der Kreisperipherie umkehrbar ein- 
deutig stetig und analytisch entspricht. Ist allgemeiner im Rand des 
Bildbereiches ein Jordansches Kurvenstück enthalten, so bleibt auf 
demselben die Abbildungsfunktion stetig, so dass auch diesem wieder 
umkehrbar eindeutig und stetig (aber nicht mehr analytisch im all- 
gemeinen) ein Bogen der Kreisperipherie entspricht. Ist weiter die 
Randkurve in einem Punkt differenzierbar, so ist die Abbildung in 
diesem Punkte noch winkeltreu. In Ecken also, in welchen zwei mit 
bestimmter Tangente versehene Kurvenstücke unter einem von Null 
verschiedenen Winkel zusammenstossen, bleibt die Abbildung wie 
man kurz sagen kann winkelproportional. Ist endlich die Randkurve 
eine geschlossene Jordankurve, so ist die Abbildungsfunktion im ab- 
geschlossenen Einheitskreis stetig und die darstellende Potenzreihe 
konvergiert im abgeschlossenen Einheitskreis gleichmässig. Das sind 
alles Spezialfälle allgemeiner Sätze über das Verhalten der Abbildung 
am Rande. Hier spielen die erreichbaren Randpunkte des Bildbe- 
reiches eine besondere Rolle. Das sind die Randpunkte, welche sich 
mit jedem Innenpunkte des Bereiches durch eine dem Bereiche an- 
gehörige Jordankurve verbinden lassen. Diesen Jordankurven ent- 
sprechen dann bei der Abbildung auf den Kreis im Kreise verlaufende 
Jordankurven, welche gegen einen wohl bestimmten Randpunkt kon- 
vergieren und zwar konvergieren die Bilder aller zum gleichen er- 
reichbaren Randpunkt hinstrebenden Jordankurven gegen denselben 
Punkt der Kreisperipherie, während verschiedenen Randpunkten auch 
verschiedene Punkte der Peripherie entsprechen. Die den erreich- 
baren Randpunkten entsprechenden Peripheriepunkte liegen auf der 
Peripherie überall dicht. Diese Sätze sind nicht etwa schwer zu be- 
weisen. Sie sind im Gegenteil auf grund allereinfachster Ueberlegungen 
einzusehen. Da aber die Beweise an verschiedenen Stellen bequem 
lesbar sind will ich hier nicht näher darauf eingehen”). 
IV. 
Diese Dinge deuten darauf hin, dass ein Zusammenhang be- 
stehen muss zwischen der Natur einer singulären Stelle und der 
Forderung, dass die Funktion einen gewissen an die singuläre Stelle 
anstossenden Bereich schlicht abbilden soll. Lehrt doch auch die 
geringste Ueberlegung, dass ein in z|<1 reguläres f(z), welches 
schlicht abbilden soll, am Rand keine Pole von höherer als zweiter 
Ordnung besitzen kann. Ganz im Einklang steht ja diese elementare 
Beobachtung auch mit der Abschätzung (14). Sie lehrt ja, dass f(z) bei 
Annäherung an |z|=1 höchstens wie das Quadrat des reziproken 
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