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Abstandes von der Peripherie also höchstens wie Ks wachsen 
kann. Dadurch ist natürlich nicht ausgeschlossen, das auf |2|=1 
eine isolierte wesentliche Singularität der Abbildungsfunktion liegen 
kann. Ich bin diesen Dingen etwas nachgegangen”). Man kann meiner 
Arbeit die folgenden Ergebnisse entnehmen: Wenn /(2) in |z|<1 
schlicht ist und wenn bei z==1 eine wesentliche Singularität p-ter 
Ordnung von f(z) liegt, so muss die Beziehung 
p> 
bestehen, z. B. bildet die Funktion von der Ordnung Eins 
ae 
2 
den Einheitskreis schlicht ab. Eine wesentliche Singularität von einer 
Ordnung unter Eins kann dagegen auf |z| = 1 nicht liegen, ebenso- 
wenig wie Pole einer Ordnung über zwei vorkommen. Ich habe 
diese Ergebnisse weiter auf das Verhalten von. ganzen Funktionen 
in Winkelräumen übertragen. Durch Abbildung derselben auf den 
\z|< 1 fand ich folgendes Ergebnis. 
Eine jede ganze transcendente Funktion der Ordnung p nimmt 
in jedem Winkelraum, dessen Oefinung (2 — = r übersteigt, einzelne 
Werte mehrfach an. Es gibt indessen Funktionen der Ordnung p, 
welche einen passenden Winkel der Oeffnung Be r schlicht 
abbilden. Funktionen also, deren Ordnung 4 nicht übertrifft, können 
keinen Winkelraum, sei er auch noch so schmal, schlicht abbilden. 
Die entsprechenden Aussagen über ganze rationale Funktionen sind 
zu trivial, als dass sie hier besonders aufgeführt werden müssten. 
Im Gebiete der ganzen Funktionen unendlicher Ordnung können be- 
liebige Winkelräume einer unter 2r bleibenden Oeffnung durch ge- 
eignete Funktionen schlicht abgebildet werden. 
V. 
Die rationalen Funktionen kamen bei den eben beschlossenen 
Darlegungen etwas schlecht weg. Es war nichts besonderes über 
dieselben zu berichten. Gleichwohl bietet es ein besonderes Interesse, 
die Frage zu behandeln, unter welchen Bedingungen eine ganze 
rationale Funktion n-ten Grades den |z| <1 schlicht abbildet. Ein 
schönes Ergebnis in dieser Fragestellung ist der Satz von Alexander 
und Kakeya*"). Das Polynom P„(z) bildet sicher dann |z|< 1 schlicht 
ab, wenn die sämtlichen Nullstellen der Ableitung P',(2) im Aus- 
senkreis | 

liegen. Wie ich einer Mitteilung des Herrn Pdlya verdanke, kann 
man diesen Satz fast unmittelbar aus einer von Heawood*) ange- 
gebenen Verschärfung eines bekannten Gauss’schen Satzes leicht ent- 
nehmen. Dieser Satz von Heawood lautet: Ist P„(z) ein Polynom n-ten 
Ma Pr rev 7 i Bo pi 
