
Grades und ist P,(1) = P,(—1) =0, so hat P,(z) im Kreise 
zl<cotg? mindestens eine Nullstelle. Daraus kann man den Satz 
über schlichte Abbildung so erschliessen: Wenn P,(z) ein und den- 
selben Wert a in den beiden Stellen 
a RI ee, 
, 
annähme, so gäbe es nach Heawood um den Mittelpunkt ihrer Ver- 
bindungsstrecke einen Kreis vom Radius 
a € otg Ru 
in welchem mindestens eine Nullstelle von P',(z) läge. Dieser Kreis 
wird möglichst gross, wenn man 7, =r,=]1 nimmt. Da es aber bei 
dieser Betrachtung auf eine Drehung nicht ankommt, brauchen wir 
nur der Annahme, dass P,(z) den Wert a in e/“ und ine « 
(«<5) weiter nachzugehen. Dann lehrt Heawood, das mindestens 
eine Nullstelle von P',(z) in 
|2|<cotg sina + cos a 
liegt. Dieser Kreis erreicht nach den Regeln der Differentialrechnung 
für i5—, mit | 
1 
BT 
Su — 
n 
seinen grössten Radius. Und damit ist der erwähnte Satz bewiesen. 
Alexander hat weiter aus naheliegenden geometrischen Betra- 
chtungen die beiden folgenden Sätze erschlossen: Wenn alle Null- 
stellen von P,_1(2) in |z| >n liegen, dann bildet 
ZPM) 
den |2|< 1 auf ein Sterngebiet ab. Daraus folgt: P,(z) bildet den 
'z2|< 1 sicher dann konvex ab, wenn alle Nullstellen seiner Ableitung 
einen n übertreffenden Betrag haben. Man kann noch hinzufügen, 
dass die in allen drei Sätzen für die Nullstellengebiete gegebenen 
Schranken die genauen sind. Man kann kein grösseres Gebiet an- 
geben derart, dass aus der Annahme, ihm gehörten alle Nullstellen 
an, die Schlichtheit der Abbildung folgt. Dies erkennt man, wenn _ 
man sich die Frage vorlegt, für welche Werte von a die Funktionen 
(2 — a)" 
i o s . a 
m ae IN PT 
oder 
z(z—a)"-! 
Abbildungen mit den verlangten Eigenschaften leisten. 
VI. 
An unseren Augen sind bis jetzt eine ganze Menge Beziehungen 
zwischen der.Forderung der Schlichtheit und den übrigen Funktions- | 
eigenschaiten voriibergezogen. Man wird die Angaben der Einleitung \ 
bestätigt finden. Wie tief aber sogar die Forderung der Schlichtheit | 
- AB 
. Ema ća Zn 
